Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107467 / 41898
↖ ↑ ↗
← N 54.300499°
E115.166931°		 ← 178.19 m → N 54.300499°
E115.169677°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
N 54.298896°
E115.166931°		 ← 178.20 m →
31 765 m²		 N 54.298896°
E115.169677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819911956787109 y=0.319660186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819911956787109 × 217)
    floor (0.819911956787109 × 131072)
    floor (107467.5)     		tx = 107467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319660186767578 × 217)
    floor (0.319660186767578 × 131072)
    floor (41898.5)     		ty = 41898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107467 / 41898 ti = "17/107467/41898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107467/41898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107467 ÷ 217
    107467 ÷ 131072     		x = 0.819908142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41898 ÷ 217
    41898 ÷ 131072     		y = 0.319656372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819908142089844 × 2 - 1) × π
    0.639816284179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.01004214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319656372070312 × 2 - 1) × π
    0.360687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13313243321889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01004214} λ = 2.01004214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13313243321889))-π/2
    2×atan(3.10536864075453)-π/2
    2×1.25925941091263-π/2
    2.51851882182525-1.57079632675     		φ = 0.94772250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01004214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.166931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94772250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.300499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107467 KachelY 41898 2.01004214 0.94772250 115.166931 54.300499
    Oben rechts KachelX + 1 107468 KachelY 41898 2.01009007 0.94772250 115.169677 54.300499
    Unten links KachelX 107467 KachelY + 1 41899 2.01004214 0.94769452 115.166931 54.298896
    Unten rechts KachelX + 1 107468 KachelY + 1 41899 2.01009007 0.94769452 115.169677 54.298896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94772250-0.94769452) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94772250-0.94769452) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01004214-2.01009007) × cos(0.94772250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583534133078249 × 6371000     		do = 178.189167451173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01004214-2.01009007) × cos(0.94769452) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583556855089222 × 6371000     		du = 178.19610589057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94772250)-sin(0.94769452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583534133078249-0.583556855089222)×R²
    abs(2.01009007-2.01004214)×2.27220109730863e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27220109730863e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27220109730863e-05×40589641000000     		ar = 31764.722766638m²