Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107467 / 100539
↖ ↑ ↗
← S 68.842709°
E115.166931°		 ← 110.21 m → S 68.842709°
E115.169677°		 →
↑
110.22 m
↓
↑
110.22 m
↓
S 68.843700°
E115.166931°		 ← 110.21 m →
12 147 m²		 S 68.843700°
E115.169677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819911956787109 y=0.767055511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819911956787109 × 217)
    floor (0.819911956787109 × 131072)
    floor (107467.5)     		tx = 107467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767055511474609 × 217)
    floor (0.767055511474609 × 131072)
    floor (100539.5)     		ty = 100539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107467 / 100539 ti = "17/107467/100539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107467/100539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107467 ÷ 217
    107467 ÷ 131072     		x = 0.819908142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100539 ÷ 217
    100539 ÷ 131072     		y = 0.767051696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819908142089844 × 2 - 1) × π
    0.639816284179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.01004214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767051696777344 × 2 - 1) × π
    -0.534103393554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.67793529740083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01004214} λ = 2.01004214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67793529740083))-π/2
    2×atan(0.186759180401537)-π/2
    2×0.184632194385816-π/2
    0.369264388771632-1.57079632675     		φ = -1.20153194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01004214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.166931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20153194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.842709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107467 KachelY 100539 2.01004214 -1.20153194 115.166931 -68.842709
    Oben rechts KachelX + 1 107468 KachelY 100539 2.01009007 -1.20153194 115.169677 -68.842709
    Unten links KachelX 107467 KachelY + 1 100540 2.01004214 -1.20154924 115.166931 -68.843700
    Unten rechts KachelX + 1 107468 KachelY + 1 100540 2.01009007 -1.20154924 115.169677 -68.843700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20153194--1.20154924) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dl = 110.218300000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20153194--1.20154924) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dr = 110.218300000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01004214-2.01009007) × cos(-1.20153194) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360929501880015 × 6371000     		do = 110.214165381038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01004214-2.01009007) × cos(-1.20154924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360913367965332 × 6371000     		du = 110.209238696098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20153194)-sin(-1.20154924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360929501880015-0.360913367965332)×R²
    abs(2.01009007-2.01004214)×1.61339146823591e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61339146823591e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61339146823591e-05×40589641000000     		ar = 12147.3464392206m²