Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107465 / 42259
↖ ↑ ↗
← N 53.717841°
E115.161438°		 ← 180.74 m → N 53.717841°
E115.164185°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
N 53.716215°
E115.161438°		 ← 180.75 m →
32 668 m²		 N 53.716215°
E115.164185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819896697998047 y=0.322414398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819896697998047 × 217)
    floor (0.819896697998047 × 131072)
    floor (107465.5)     		tx = 107465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322414398193359 × 217)
    floor (0.322414398193359 × 131072)
    floor (42259.5)     		ty = 42259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107465 / 42259 ti = "17/107465/42259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107465/42259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107465 ÷ 217
    107465 ÷ 131072     		x = 0.819892883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42259 ÷ 217
    42259 ÷ 131072     		y = 0.322410583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819892883300781 × 2 - 1) × π
    0.639785766601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.00994626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322410583496094 × 2 - 1) × π
    0.355178833007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.11582721245605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00994626} λ = 2.00994626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11582721245605))-π/2
    2×atan(3.05209186363377)-π/2
    2×1.25417475953352-π/2
    2.50834951906704-1.57079632675     		φ = 0.93755319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00994626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.161438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93755319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.717841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107465 KachelY 42259 2.00994626 0.93755319 115.161438 53.717841
    Oben rechts KachelX + 1 107466 KachelY 42259 2.00999420 0.93755319 115.164185 53.717841
    Unten links KachelX 107465 KachelY + 1 42260 2.00994626 0.93752482 115.161438 53.716215
    Unten rechts KachelX + 1 107466 KachelY + 1 42260 2.00999420 0.93752482 115.164185 53.716215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93755319-0.93752482) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dl = 180.745269999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93755319-0.93752482) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dr = 180.745269999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00994626-2.00999420) × cos(0.93755319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591762198801189 × 6371000     		do = 180.739407472762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00994626-2.00999420) × cos(0.93752482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591785067977087 × 6371000     		du = 180.746392307734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93755319)-sin(0.93752482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591762198801189-0.591785067977087)×R²
    abs(2.00999420-2.00994626)×2.28691758979993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28691758979993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28691758979993e-05×40589641000000     		ar = 32668.4242434428m²