Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107464 / 50232
↖ ↑ ↗
← N 38.702659°
E115.158692°		 ← 238.30 m → N 38.702659°
E115.161438°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
N 38.700516°
E115.158692°		 ← 238.31 m →
56 798 m²		 N 38.700516°
E115.161438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819889068603516 y=0.383243560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819889068603516 × 217)
    floor (0.819889068603516 × 131072)
    floor (107464.5)     		tx = 107464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383243560791016 × 217)
    floor (0.383243560791016 × 131072)
    floor (50232.5)     		ty = 50232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107464 / 50232 ti = "17/107464/50232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107464/50232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107464 ÷ 217
    107464 ÷ 131072     		x = 0.81988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50232 ÷ 217
    50232 ÷ 131072     		y = 0.38323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81988525390625 × 2 - 1) × π
    0.6397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00989833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38323974609375 × 2 - 1) × π
    0.2335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.733626311785339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00989833} λ = 2.00989833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.733626311785339))-π/2
    2×atan(2.08261915724175)-π/2
    2×1.12314258048373-π/2
    2.24628516096746-1.57079632675     		φ = 0.67548883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00989833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.158692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67548883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.702659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107464 KachelY 50232 2.00989833 0.67548883 115.158692 38.702659
    Oben rechts KachelX + 1 107465 KachelY 50232 2.00994626 0.67548883 115.161438 38.702659
    Unten links KachelX 107464 KachelY + 1 50233 2.00989833 0.67545142 115.158692 38.700516
    Unten rechts KachelX + 1 107465 KachelY + 1 50233 2.00994626 0.67545142 115.161438 38.700516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67548883-0.67545142) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67548883-0.67545142) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00989833-2.00994626) × cos(0.67548883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780401389312454 × 6371000     		do = 238.304952455417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00989833-2.00994626) × cos(0.67545142) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780424780449074 × 6371000     		du = 238.312095220379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67548883)-sin(0.67545142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780401389312454-0.780424780449074)×R²
    abs(2.00994626-2.00989833)×2.33911366203099e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33911366203099e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33911366203099e-05×40589641000000     		ar = 56798.2414834791m²