Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107464 / 100579
↖ ↑ ↗
← S 68.882326°
E115.158692°		 ← 110.02 m → S 68.882326°
E115.161438°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
S 68.883316°
E115.158692°		 ← 110.01 m →
12 105 m²		 S 68.883316°
E115.161438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819889068603516 y=0.767360687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819889068603516 × 217)
    floor (0.819889068603516 × 131072)
    floor (107464.5)     		tx = 107464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767360687255859 × 217)
    floor (0.767360687255859 × 131072)
    floor (100579.5)     		ty = 100579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107464 / 100579 ti = "17/107464/100579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107464/100579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107464 ÷ 217
    107464 ÷ 131072     		x = 0.81988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100579 ÷ 217
    100579 ÷ 131072     		y = 0.767356872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81988525390625 × 2 - 1) × π
    0.6397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00989833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767356872558594 × 2 - 1) × π
    -0.534713745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.67985277338563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00989833} λ = 2.00989833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67985277338563))-π/2
    2×atan(0.186401417268899)-π/2
    2×0.184286466797071-π/2
    0.368572933594141-1.57079632675     		φ = -1.20222339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00989833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.158692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20222339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.882326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107464 KachelY 100579 2.00989833 -1.20222339 115.158692 -68.882326
    Oben rechts KachelX + 1 107465 KachelY 100579 2.00994626 -1.20222339 115.161438 -68.882326
    Unten links KachelX 107464 KachelY + 1 100580 2.00989833 -1.20224066 115.158692 -68.883316
    Unten rechts KachelX + 1 107465 KachelY + 1 100580 2.00994626 -1.20224066 115.161438 -68.883316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20222339--1.20224066) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dl = 110.027170000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20222339--1.20224066) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dr = 110.027170000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00989833-2.00994626) × cos(-1.20222339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360284574149979 × 6371000     		do = 110.017228940191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00989833-2.00994626) × cos(-1.20224066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360268463907241 × 6371000     		du = 110.012309483764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20222339)-sin(-1.20224066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360284574149979-0.360268463907241)×R²
    abs(2.00994626-2.00989833)×1.6110242737899e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6110242737899e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6110242737899e-05×40589641000000     		ar = 12104.613715004m²