Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107462 / 100510
↖ ↑ ↗
← S 68.813942°
E115.153198°		 ← 110.38 m → S 68.813942°
E115.155945°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
S 68.814934°
E115.153198°		 ← 110.38 m →
12 180 m²		 S 68.814934°
E115.155945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819873809814453 y=0.766834259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819873809814453 × 217)
    floor (0.819873809814453 × 131072)
    floor (107462.5)     		tx = 107462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766834259033203 × 217)
    floor (0.766834259033203 × 131072)
    floor (100510.5)     		ty = 100510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107462 / 100510 ti = "17/107462/100510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107462/100510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107462 ÷ 217
    107462 ÷ 131072     		x = 0.819869995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100510 ÷ 217
    100510 ÷ 131072     		y = 0.766830444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819869995117188 × 2 - 1) × π
    0.639739990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00980245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766830444335938 × 2 - 1) × π
    -0.533660888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67654512731184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00980245} λ = 2.00980245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67654512731184))-π/2
    2×atan(0.187018987974491)-π/2
    2×0.184883233771913-π/2
    0.369766467543825-1.57079632675     		φ = -1.20102986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00980245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.153198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20102986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.813942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107462 KachelY 100510 2.00980245 -1.20102986 115.153198 -68.813942
    Oben rechts KachelX + 1 107463 KachelY 100510 2.00985039 -1.20102986 115.155945 -68.813942
    Unten links KachelX 107462 KachelY + 1 100511 2.00980245 -1.20104718 115.153198 -68.814934
    Unten rechts KachelX + 1 107463 KachelY + 1 100511 2.00985039 -1.20104718 115.155945 -68.814934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20102986--1.20104718) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20102986--1.20104718) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00980245-2.00985039) × cos(-1.20102986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361397692712869 × 6371000     		do = 110.380157731048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00980245-2.00985039) × cos(-1.20104718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361381543286817 × 6371000     		du = 110.375225280646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20102986)-sin(-1.20104718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361397692712869-0.361381543286817)×R²
    abs(2.00985039-2.00980245)×1.61494260515482e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61494260515482e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61494260515482e-05×40589641000000     		ar = 12179.7058413747m²