Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107456 / 100544
↖ ↑ ↗
← S 68.847665°
E115.136719°		 ← 110.21 m → S 68.847665°
E115.139465°		 →
↑
110.22 m
↓
↑
110.22 m
↓
S 68.848656°
E115.136719°		 ← 110.21 m →
12 147 m²		 S 68.848656°
E115.139465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819828033447266 y=0.767093658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819828033447266 × 217)
    floor (0.819828033447266 × 131072)
    floor (107456.5)     		tx = 107456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767093658447266 × 217)
    floor (0.767093658447266 × 131072)
    floor (100544.5)     		ty = 100544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107456 / 100544 ti = "17/107456/100544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107456/100544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107456 ÷ 217
    107456 ÷ 131072     		x = 0.81982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100544 ÷ 217
    100544 ÷ 131072     		y = 0.76708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81982421875 × 2 - 1) × π
    0.6396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00951483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76708984375 × 2 - 1) × π
    -0.5341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67817498189893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00951483} λ = 2.00951483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67817498189893))-π/2
    2×atan(0.186714422485221)-π/2
    2×0.184588944616345-π/2
    0.36917788923269-1.57079632675     		φ = -1.20161844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00951483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20161844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.847665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107456 KachelY 100544 2.00951483 -1.20161844 115.136719 -68.847665
    Oben rechts KachelX + 1 107457 KachelY 100544 2.00956277 -1.20161844 115.139465 -68.847665
    Unten links KachelX 107456 KachelY + 1 100545 2.00951483 -1.20163574 115.136719 -68.848656
    Unten rechts KachelX + 1 107457 KachelY + 1 100545 2.00956277 -1.20163574 115.139465 -68.848656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20161844--1.20163574) × R
    1.72999999998869e-05 × 6371000     		dl = 110.218299999279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20161844--1.20163574) × R
    1.72999999998869e-05 × 6371000     		dr = 110.218299999279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00951483-2.00956277) × cos(-1.20161844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360848831226474 × 6371000     		do = 110.212521305409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00951483-2.00956277) × cos(-1.20163574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360832696771751 × 6371000     		du = 110.207593427636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20161844)-sin(-1.20163574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360848831226474-0.360832696771751)×R²
    abs(2.00956277-2.00951483)×1.61344547227049e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61344547227049e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61344547227049e-05×40589641000000     		ar = 12147.1651660755m²