Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107455 / 100487
↖ ↑ ↗
← S 68.791101°
E115.133972°		 ← 110.47 m → S 68.791101°
E115.136719°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
S 68.792094°
E115.133972°		 ← 110.47 m →
12 204 m²		 S 68.792094°
E115.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819820404052734 y=0.766658782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819820404052734 × 217)
    floor (0.819820404052734 × 131072)
    floor (107455.5)     		tx = 107455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766658782958984 × 217)
    floor (0.766658782958984 × 131072)
    floor (100487.5)     		ty = 100487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107455 / 100487 ti = "17/107455/100487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107455/100487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107455 ÷ 217
    107455 ÷ 131072     		x = 0.819816589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100487 ÷ 217
    100487 ÷ 131072     		y = 0.766654968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819816589355469 × 2 - 1) × π
    0.639633178710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.00946690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766654968261719 × 2 - 1) × π
    -0.533309936523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.67544257862058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00946690} λ = 2.00946690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67544257862058))-π/2
    2×atan(0.187225299228125)-π/2
    2×0.185082565485458-π/2
    0.370165130970915-1.57079632675     		φ = -1.20063120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00946690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.133972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20063120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.791101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107455 KachelY 100487 2.00946690 -1.20063120 115.133972 -68.791101
    Oben rechts KachelX + 1 107456 KachelY 100487 2.00951483 -1.20063120 115.136719 -68.791101
    Unten links KachelX 107455 KachelY + 1 100488 2.00946690 -1.20064854 115.133972 -68.792094
    Unten rechts KachelX + 1 107456 KachelY + 1 100488 2.00951483 -1.20064854 115.136719 -68.792094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20063120--1.20064854) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dl = 110.47314000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20063120--1.20064854) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dr = 110.47314000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00946690-2.00951483) × cos(-1.20063120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361769379260578 × 6371000     		do = 110.470632042918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00946690-2.00951483) × cos(-1.20064854) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361753213685652 × 6371000     		du = 110.465695690142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20063120)-sin(-1.20064854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361769379260578-0.361753213685652)×R²
    abs(2.00951483-2.00946690)×1.61655749262857e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61655749262857e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61655749262857e-05×40589641000000     		ar = 12203.7649325924m²