Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107454 / 100489
↖ ↑ ↗
← S 68.793088°
E115.131226°		 ← 110.48 m → S 68.793088°
E115.133972°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
S 68.794081°
E115.131226°		 ← 110.48 m →
12 205 m²		 S 68.794081°
E115.133972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819812774658203 y=0.766674041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819812774658203 × 217)
    floor (0.819812774658203 × 131072)
    floor (107454.5)     		tx = 107454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766674041748047 × 217)
    floor (0.766674041748047 × 131072)
    floor (100489.5)     		ty = 100489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107454 / 100489 ti = "17/107454/100489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107454/100489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107454 ÷ 217
    107454 ÷ 131072     		x = 0.819808959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100489 ÷ 217
    100489 ÷ 131072     		y = 0.766670227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819808959960938 × 2 - 1) × π
    0.639617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00941896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766670227050781 × 2 - 1) × π
    -0.533340454101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.67553845241982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00941896} λ = 2.00941896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67553845241982))-π/2
    2×atan(0.187207350087814)-π/2
    2×0.185065224157851-π/2
    0.370130448315702-1.57079632675     		φ = -1.20066588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00941896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.131226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20066588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.793088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107454 KachelY 100489 2.00941896 -1.20066588 115.131226 -68.793088
    Oben rechts KachelX + 1 107455 KachelY 100489 2.00946690 -1.20066588 115.133972 -68.793088
    Unten links KachelX 107454 KachelY + 1 100490 2.00941896 -1.20068322 115.131226 -68.794081
    Unten rechts KachelX + 1 107455 KachelY + 1 100490 2.00946690 -1.20068322 115.133972 -68.794081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20066588--1.20068322) × R
    1.73399999998658e-05 × 6371000     		dl = 110.473139999145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20066588--1.20068322) × R
    1.73399999998658e-05 × 6371000     		dr = 110.473139999145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00941896-2.00946690) × cos(-1.20066588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361737048001955 × 6371000     		do = 110.48380557134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00941896-2.00946690) × cos(-1.20068322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361720882209493 × 6371000     		du = 110.478868122215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20066588)-sin(-1.20068322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361737048001955-0.361720882209493)×R²
    abs(2.00946690-2.00941896)×1.61657924619973e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61657924619973e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61657924619973e-05×40589641000000     		ar = 12205.2201931449m²