Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107452 / 100488
↖ ↑ ↗
← S 68.792094°
E115.125732°		 ← 110.49 m → S 68.792094°
E115.128479°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
S 68.793088°
E115.125732°		 ← 110.48 m →
12 206 m²		 S 68.793088°
E115.128479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819797515869141 y=0.766666412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819797515869141 × 217)
    floor (0.819797515869141 × 131072)
    floor (107452.5)     		tx = 107452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766666412353516 × 217)
    floor (0.766666412353516 × 131072)
    floor (100488.5)     		ty = 100488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107452 / 100488 ti = "17/107452/100488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107452/100488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107452 ÷ 217
    107452 ÷ 131072     		x = 0.819793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100488 ÷ 217
    100488 ÷ 131072     		y = 0.76666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819793701171875 × 2 - 1) × π
    0.63958740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00932308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.5333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6754905155202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00932308} λ = 2.00932308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6754905155202))-π/2
    2×atan(0.187216324442863)-π/2
    2×0.185073894627907-π/2
    0.370147789255814-1.57079632675     		φ = -1.20064854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00932308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.125732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20064854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.792094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107452 KachelY 100488 2.00932308 -1.20064854 115.125732 -68.792094
    Oben rechts KachelX + 1 107453 KachelY 100488 2.00937102 -1.20064854 115.128479 -68.792094
    Unten links KachelX 107452 KachelY + 1 100489 2.00932308 -1.20066588 115.125732 -68.793088
    Unten rechts KachelX + 1 107453 KachelY + 1 100489 2.00937102 -1.20066588 115.128479 -68.793088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20064854--1.20066588) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dl = 110.47314000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20064854--1.20066588) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dr = 110.47314000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00932308-2.00937102) × cos(-1.20064854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361753213685652 × 6371000     		do = 110.488742987246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00932308-2.00937102) × cos(-1.20066588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361737048001955 × 6371000     		du = 110.48380557134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20064854)-sin(-1.20066588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361753213685652-0.361737048001955)×R²
    abs(2.00937102-2.00932308)×1.61656836967228e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61656836967228e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61656836967228e-05×40589641000000     		ar = 12205.7656470051m²