Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107449 / 42553
↖ ↑ ↗
← N 53.237277°
E115.117492°		 ← 182.80 m → N 53.237277°
E115.120239°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
N 53.235633°
E115.117492°		 ← 182.81 m →
33 425 m²		 N 53.235633°
E115.120239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819774627685547 y=0.324657440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819774627685547 × 217)
    floor (0.819774627685547 × 131072)
    floor (107449.5)     		tx = 107449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324657440185547 × 217)
    floor (0.324657440185547 × 131072)
    floor (42553.5)     		ty = 42553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107449 / 42553 ti = "17/107449/42553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107449/42553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107449 ÷ 217
    107449 ÷ 131072     		x = 0.819770812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42553 ÷ 217
    42553 ÷ 131072     		y = 0.324653625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819770812988281 × 2 - 1) × π
    0.639541625976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.00917927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324653625488281 × 2 - 1) × π
    0.350692749023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.10173376396775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00917927} λ = 2.00917927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10173376396775))-π/2
    2×atan(3.00937905653008)-π/2
    2×1.24998104618208-π/2
    2.49996209236416-1.57079632675     		φ = 0.92916577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00917927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.117492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92916577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.237277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107449 KachelY 42553 2.00917927 0.92916577 115.117492 53.237277
    Oben rechts KachelX + 1 107450 KachelY 42553 2.00922721 0.92916577 115.120239 53.237277
    Unten links KachelX 107449 KachelY + 1 42554 2.00917927 0.92913707 115.117492 53.235633
    Unten rechts KachelX + 1 107450 KachelY + 1 42554 2.00922721 0.92913707 115.120239 53.235633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92916577-0.92913707) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92916577-0.92913707) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00917927-2.00922721) × cos(0.92916577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598502509584828 × 6371000     		do = 182.798071881683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00917927-2.00922721) × cos(0.92913707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598525501509053 × 6371000     		du = 182.805094207154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92916577)-sin(0.92913707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598502509584828-0.598525501509053)×R²
    abs(2.00922721-2.00917927)×2.29919242250576e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29919242250576e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29919242250576e-05×40589641000000     		ar = 33424.8490183415m²