Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107448 / 48120
↖ ↑ ↗
← N 43.084938°
E115.114746°		 ← 223.02 m → N 43.084938°
E115.117492°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
N 43.082932°
E115.114746°		 ← 223.03 m →
49 745 m²		 N 43.082932°
E115.117492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819766998291016 y=0.367130279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819766998291016 × 217)
    floor (0.819766998291016 × 131072)
    floor (107448.5)     		tx = 107448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367130279541016 × 217)
    floor (0.367130279541016 × 131072)
    floor (48120.5)     		ty = 48120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107448 / 48120 ti = "17/107448/48120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107448/48120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107448 ÷ 217
    107448 ÷ 131072     		x = 0.81976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48120 ÷ 217
    48120 ÷ 131072     		y = 0.36712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81976318359375 × 2 - 1) × π
    0.6395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00913134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36712646484375 × 2 - 1) × π
    0.2657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.834869043782898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00913134} λ = 2.00913134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834869043782898))-π/2
    2×atan(2.3045122383205)-π/2
    2×1.16138517144784-π/2
    2.32277034289568-1.57079632675     		φ = 0.75197402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00913134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75197402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.084938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107448 KachelY 48120 2.00913134 0.75197402 115.114746 43.084938
    Oben rechts KachelX + 1 107449 KachelY 48120 2.00917927 0.75197402 115.117492 43.084938
    Unten links KachelX 107448 KachelY + 1 48121 2.00913134 0.75193901 115.114746 43.082932
    Unten rechts KachelX + 1 107449 KachelY + 1 48121 2.00917927 0.75193901 115.117492 43.082932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75197402-0.75193901) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dl = 223.048710000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75197402-0.75193901) × R
    3.50100000000575e-05 × 6371000     		dr = 223.048710000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00913134-2.00917927) × cos(0.75197402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.730341875597 × 6371000     		do = 223.018677726444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00913134-2.00917927) × cos(0.75193901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.730365789843204 × 6371000     		du = 223.025980229211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75197402)-sin(0.75193901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730341875597-0.730365789843204)×R²
    abs(2.00917927-2.00913134)×2.39142462040709e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39142462040709e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39142462040709e-05×40589641000000     		ar = 49744.8427848712m²