Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107447 / 100493
↖ ↑ ↗
← S 68.797061°
E115.112000°		 ← 110.46 m → S 68.797061°
E115.114746°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
S 68.798055°
E115.112000°		 ← 110.46 m →
12 203 m²		 S 68.798055°
E115.114746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819759368896484 y=0.766704559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819759368896484 × 217)
    floor (0.819759368896484 × 131072)
    floor (107447.5)     		tx = 107447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766704559326172 × 217)
    floor (0.766704559326172 × 131072)
    floor (100493.5)     		ty = 100493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107447 / 100493 ti = "17/107447/100493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107447/100493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107447 ÷ 217
    107447 ÷ 131072     		x = 0.819755554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100493 ÷ 217
    100493 ÷ 131072     		y = 0.766700744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819755554199219 × 2 - 1) × π
    0.639511108398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.00908340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766700744628906 × 2 - 1) × π
    -0.533401489257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6757302000183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00908340} λ = 2.00908340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6757302000183))-π/2
    2×atan(0.187171456969337)-π/2
    2×0.185030546152281-π/2
    0.370061092304561-1.57079632675     		φ = -1.20073523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00908340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.112000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20073523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.797061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107447 KachelY 100493 2.00908340 -1.20073523 115.112000 -68.797061
    Oben rechts KachelX + 1 107448 KachelY 100493 2.00913134 -1.20073523 115.114746 -68.797061
    Unten links KachelX 107447 KachelY + 1 100494 2.00908340 -1.20075257 115.112000 -68.798055
    Unten rechts KachelX + 1 107448 KachelY + 1 100494 2.00913134 -1.20075257 115.114746 -68.798055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20073523--1.20075257) × R
    1.73399999998658e-05 × 6371000     		dl = 110.473139999145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20073523--1.20075257) × R
    1.73399999998658e-05 × 6371000     		dr = 110.473139999145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00908340-2.00913134) × cos(-1.20073523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361672393502615 × 6371000     		do = 110.464058423035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00908340-2.00913134) × cos(-1.20075257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361656227275202 × 6371000     		du = 110.459120841064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20073523)-sin(-1.20075257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361672393502615-0.361656227275202)×R²
    abs(2.00913134-2.00908340)×1.61662274126839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61662274126839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61662274126839e-05×40589641000000     		ar = 12203.0386561727m²