Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107445 / 41914
↖ ↑ ↗
← N 54.274848°
E115.106507°		 ← 178.30 m → N 54.274848°
E115.109253°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
N 54.273244°
E115.106507°		 ← 178.31 m →
31 796 m²		 N 54.273244°
E115.109253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819744110107422 y=0.319782257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819744110107422 × 217)
    floor (0.819744110107422 × 131072)
    floor (107445.5)     		tx = 107445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319782257080078 × 217)
    floor (0.319782257080078 × 131072)
    floor (41914.5)     		ty = 41914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107445 / 41914 ti = "17/107445/41914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107445/41914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107445 ÷ 217
    107445 ÷ 131072     		x = 0.819740295410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41914 ÷ 217
    41914 ÷ 131072     		y = 0.319778442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819740295410156 × 2 - 1) × π
    0.639480590820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.00898753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319778442382812 × 2 - 1) × π
    0.360443115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13236544282497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00898753} λ = 2.00898753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13236544282497))-π/2
    2×atan(3.10298776600824)-π/2
    2×1.25903555867372-π/2
    2.51807111734745-1.57079632675     		φ = 0.94727479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00898753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.106507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94727479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.274848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107445 KachelY 41914 2.00898753 0.94727479 115.106507 54.274848
    Oben rechts KachelX + 1 107446 KachelY 41914 2.00903546 0.94727479 115.109253 54.274848
    Unten links KachelX 107445 KachelY + 1 41915 2.00898753 0.94724680 115.106507 54.273244
    Unten rechts KachelX + 1 107446 KachelY + 1 41915 2.00903546 0.94724680 115.109253 54.273244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94727479-0.94724680) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dl = 178.324289999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94727479-0.94724680) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dr = 178.324289999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00898753-2.00903546) × cos(0.94727479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583897654776047 × 6371000     		do = 178.300173174762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00898753-2.00903546) × cos(0.94724680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583920377592821 × 6371000     		du = 178.30711186022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94727479)-sin(0.94724680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583897654776047-0.583920377592821)×R²
    abs(2.00903546-2.00898753)×2.27228167741789e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27228167741789e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27228167741789e-05×40589641000000     		ar = 31795.8704582872m²