Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107443 / 100503
↖ ↑ ↗
← S 68.806993°
E115.101013°		 ← 110.41 m → S 68.806993°
E115.103760°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.807986°
E115.101013°		 ← 110.41 m →
12 191 m²		 S 68.807986°
E115.103760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819728851318359 y=0.766780853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819728851318359 × 217)
    floor (0.819728851318359 × 131072)
    floor (107443.5)     		tx = 107443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766780853271484 × 217)
    floor (0.766780853271484 × 131072)
    floor (100503.5)     		ty = 100503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107443 / 100503 ti = "17/107443/100503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107443/100503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107443 ÷ 217
    107443 ÷ 131072     		x = 0.819725036621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100503 ÷ 217
    100503 ÷ 131072     		y = 0.766777038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819725036621094 × 2 - 1) × π
    0.639450073242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.00889165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766777038574219 × 2 - 1) × π
    -0.533554077148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6762095690145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00889165} λ = 2.00889165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6762095690145))-π/2
    2×atan(0.187081754277954)-π/2
    2×0.184943878255779-π/2
    0.369887756511558-1.57079632675     		φ = -1.20090857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00889165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.101013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20090857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.806993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107443 KachelY 100503 2.00889165 -1.20090857 115.101013 -68.806993
    Oben rechts KachelX + 1 107444 KachelY 100503 2.00893959 -1.20090857 115.103760 -68.806993
    Unten links KachelX 107443 KachelY + 1 100504 2.00889165 -1.20092590 115.101013 -68.807986
    Unten rechts KachelX + 1 107444 KachelY + 1 100504 2.00893959 -1.20092590 115.103760 -68.807986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20090857--1.20092590) × R
    1.73300000001486e-05 × 6371000     		dl = 110.409430000947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20090857--1.20092590) × R
    1.73300000001486e-05 × 6371000     		dr = 110.409430000947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00889165-2.00893959) × cos(-1.20090857) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.361510782277793 × 6371000     		do = 110.414698196124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00889165-2.00893959) × cos(-1.20092590) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.361494624287305 × 6371000     		du = 110.409763129922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20090857)-sin(-1.20092590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361510782277793-0.361494624287305)×R²
    abs(2.00893959-2.00889165)×1.61579904882081e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.61579904882081e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.61579904882081e-05×40589641000000     		ar = 12190.5514528885m²