Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107442 / 41928
↖ ↑ ↗
← N 54.252389°
E115.098267°		 ← 178.40 m → N 54.252389°
E115.101013°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
N 54.250784°
E115.098267°		 ← 178.40 m →
31 836 m²		 N 54.250784°
E115.101013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819721221923828 y=0.319889068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819721221923828 × 217)
    floor (0.819721221923828 × 131072)
    floor (107442.5)     		tx = 107442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319889068603516 × 217)
    floor (0.319889068603516 × 131072)
    floor (41928.5)     		ty = 41928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107442 / 41928 ti = "17/107442/41928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107442/41928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107442 ÷ 217
    107442 ÷ 131072     		x = 0.819717407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41928 ÷ 217
    41928 ÷ 131072     		y = 0.31988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819717407226562 × 2 - 1) × π
    0.639434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00884372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31988525390625 × 2 - 1) × π
    0.3602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13169432623029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00884372} λ = 2.00884372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13169432623029))-π/2
    2×atan(3.10090599805802)-π/2
    2×1.25883957359153-π/2
    2.51767914718306-1.57079632675     		φ = 0.94688282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00884372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.098267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94688282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.252389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107442 KachelY 41928 2.00884372 0.94688282 115.098267 54.252389
    Oben rechts KachelX + 1 107443 KachelY 41928 2.00889165 0.94688282 115.101013 54.252389
    Unten links KachelX 107442 KachelY + 1 41929 2.00884372 0.94685481 115.098267 54.250784
    Unten rechts KachelX + 1 107443 KachelY + 1 41929 2.00889165 0.94685481 115.101013 54.250784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94688282-0.94685481) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dl = 178.451709999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94688282-0.94685481) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dr = 178.451709999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00884372-2.00889165) × cos(0.94688282) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.584215821850764 × 6371000     		do = 178.397329316924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00884372-2.00889165) × cos(0.94685481) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.584238554491226 × 6371000     		du = 178.404271002163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94688282)-sin(0.94685481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584215821850764-0.584238554491226)×R²
    abs(2.00889165-2.00884372)×2.27326404623751e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.27326404623751e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.27326404623751e-05×40589641000000     		ar = 31835.9278557937m²