Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107442 / 41918
↖ ↑ ↗
← N 54.268432°
E115.098267°		 ← 178.33 m → N 54.268432°
E115.101013°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
N 54.266828°
E115.098267°		 ← 178.33 m →
31 801 m²		 N 54.266828°
E115.101013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819721221923828 y=0.319812774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819721221923828 × 217)
    floor (0.819721221923828 × 131072)
    floor (107442.5)     		tx = 107442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319812774658203 × 217)
    floor (0.319812774658203 × 131072)
    floor (41918.5)     		ty = 41918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107442 / 41918 ti = "17/107442/41918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107442/41918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107442 ÷ 217
    107442 ÷ 131072     		x = 0.819717407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41918 ÷ 217
    41918 ÷ 131072     		y = 0.319808959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819717407226562 × 2 - 1) × π
    0.639434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00884372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319808959960938 × 2 - 1) × π
    0.360382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13217369522649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00884372} λ = 2.00884372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13217369522649))-π/2
    2×atan(3.10239283259634)-π/2
    2×1.25897957383-π/2
    2.51795914766-1.57079632675     		φ = 0.94716282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00884372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.098267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94716282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.268432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107442 KachelY 41918 2.00884372 0.94716282 115.098267 54.268432
    Oben rechts KachelX + 1 107443 KachelY 41918 2.00889165 0.94716282 115.101013 54.268432
    Unten links KachelX 107442 KachelY + 1 41919 2.00884372 0.94713483 115.098267 54.266828
    Unten rechts KachelX + 1 107443 KachelY + 1 41919 2.00889165 0.94713483 115.101013 54.266828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94716282-0.94713483) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dl = 178.324289999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94716282-0.94713483) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dr = 178.324289999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00884372-2.00889165) × cos(0.94716282) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.583988551415892 × 6371000     		do = 178.327929555573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00884372-2.00889165) × cos(0.94713483) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.584011272402529 × 6371000     		du = 178.334867682176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94716282)-sin(0.94713483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583988551415892-0.584011272402529)×R²
    abs(2.00889165-2.00884372)×2.2720986637359e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.2720986637359e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.2720986637359e-05×40589641000000     		ar = 31800.8200453238m²