Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107441 / 42287
↖ ↑ ↗
← N 53.672307°
E115.095520°		 ← 180.94 m → N 53.672307°
E115.098267°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
N 53.670680°
E115.095520°		 ← 180.94 m →
32 738 m²		 N 53.670680°
E115.098267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819713592529297 y=0.322628021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819713592529297 × 217)
    floor (0.819713592529297 × 131072)
    floor (107441.5)     		tx = 107441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322628021240234 × 217)
    floor (0.322628021240234 × 131072)
    floor (42287.5)     		ty = 42287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107441 / 42287 ti = "17/107441/42287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107441/42287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107441 ÷ 217
    107441 ÷ 131072     		x = 0.819709777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42287 ÷ 217
    42287 ÷ 131072     		y = 0.322624206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819709777832031 × 2 - 1) × π
    0.639419555664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.00879578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322624206542969 × 2 - 1) × π
    0.354751586914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.11448497926669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00879578} λ = 2.00879578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11448497926669))-π/2
    2×atan(3.04799799271675)-π/2
    2×1.25377740321559-π/2
    2.50755480643119-1.57079632675     		φ = 0.93675848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00879578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.095520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93675848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.672307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107441 KachelY 42287 2.00879578 0.93675848 115.095520 53.672307
    Oben rechts KachelX + 1 107442 KachelY 42287 2.00884372 0.93675848 115.098267 53.672307
    Unten links KachelX 107441 KachelY + 1 42288 2.00879578 0.93673008 115.095520 53.670680
    Unten rechts KachelX + 1 107442 KachelY + 1 42288 2.00884372 0.93673008 115.098267 53.670680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93675848-0.93673008) × R
    2.83999999999285e-05 × 6371000     		dl = 180.936399999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93675848-0.93673008) × R
    2.83999999999285e-05 × 6371000     		dr = 180.936399999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00879578-2.00884372) × cos(0.93675848) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.59240263759853 × 6371000     		do = 180.93501396804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00879578-2.00884372) × cos(0.93673008) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.592425517593882 × 6371000     		du = 180.942002107552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93675848)-sin(0.93673008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59240263759853-0.592425517593882)×R²
    abs(2.00884372-2.00879578)×2.28799953522207e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.28799953522207e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.28799953522207e-05×40589641000000     		ar = 32738.3622679934m²