Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107441 / 100502
↖ ↑ ↗
← S 68.806000°
E115.095520°		 ← 110.42 m → S 68.806000°
E115.098267°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.806993°
E115.095520°		 ← 110.41 m →
12 191 m²		 S 68.806993°
E115.098267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819713592529297 y=0.766773223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819713592529297 × 217)
    floor (0.819713592529297 × 131072)
    floor (107441.5)     		tx = 107441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766773223876953 × 217)
    floor (0.766773223876953 × 131072)
    floor (100502.5)     		ty = 100502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107441 / 100502 ti = "17/107441/100502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107441/100502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107441 ÷ 217
    107441 ÷ 131072     		x = 0.819709777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100502 ÷ 217
    100502 ÷ 131072     		y = 0.766769409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819709777832031 × 2 - 1) × π
    0.639419555664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.00879578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766769409179688 × 2 - 1) × π
    -0.533538818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67616163211488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00879578} λ = 2.00879578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67616163211488))-π/2
    2×atan(0.187090722612185)-π/2
    2×0.184952543302453-π/2
    0.369905086604906-1.57079632675     		φ = -1.20089124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00879578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.095520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20089124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.806000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107441 KachelY 100502 2.00879578 -1.20089124 115.095520 -68.806000
    Oben rechts KachelX + 1 107442 KachelY 100502 2.00884372 -1.20089124 115.098267 -68.806000
    Unten links KachelX 107441 KachelY + 1 100503 2.00879578 -1.20090857 115.095520 -68.806993
    Unten rechts KachelX + 1 107442 KachelY + 1 100503 2.00884372 -1.20090857 115.098267 -68.806993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20089124--1.20090857) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dl = 110.409429999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20089124--1.20090857) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dr = 110.409429999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00879578-2.00884372) × cos(-1.20089124) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.361526940159709 × 6371000     		do = 110.419633229165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00879578-2.00884372) × cos(-1.20090857) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.361510782277793 × 6371000     		du = 110.414698196124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20089124)-sin(-1.20090857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361526940159709-0.361510782277793)×R²
    abs(2.00884372-2.00879578)×1.61578819158348e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.61578819158348e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.61578819158348e-05×40589641000000     		ar = 12191.096328856m²