Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107439 / 42257
↖ ↑ ↗
← N 53.721091°
E115.090027°		 ← 180.73 m → N 53.721091°
E115.092773°		 →
↑
180.68 m
↓
↑
180.68 m
↓
N 53.719466°
E115.090027°		 ← 180.73 m →
32 654 m²		 N 53.719466°
E115.092773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819698333740234 y=0.322399139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819698333740234 × 217)
    floor (0.819698333740234 × 131072)
    floor (107439.5)     		tx = 107439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322399139404297 × 217)
    floor (0.322399139404297 × 131072)
    floor (42257.5)     		ty = 42257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107439 / 42257 ti = "17/107439/42257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107439/42257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107439 ÷ 217
    107439 ÷ 131072     		x = 0.819694519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42257 ÷ 217
    42257 ÷ 131072     		y = 0.322395324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819694519042969 × 2 - 1) × π
    0.639389038085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.00869990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322395324707031 × 2 - 1) × π
    0.355209350585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.11592308625529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00869990} λ = 2.00869990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11592308625529))-π/2
    2×atan(3.0523844933039)-π/2
    2×1.25420312568238-π/2
    2.50840625136477-1.57079632675     		φ = 0.93760992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00869990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.090027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93760992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.721091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107439 KachelY 42257 2.00869990 0.93760992 115.090027 53.721091
    Oben rechts KachelX + 1 107440 KachelY 42257 2.00874784 0.93760992 115.092773 53.721091
    Unten links KachelX 107439 KachelY + 1 42258 2.00869990 0.93758156 115.090027 53.719466
    Unten rechts KachelX + 1 107440 KachelY + 1 42258 2.00874784 0.93758156 115.092773 53.719466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93760992-0.93758156) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dl = 180.681559999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93760992-0.93758156) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dr = 180.681559999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00869990-2.00874784) × cos(0.93760992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591716467082021 × 6371000     		do = 180.725439828593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00869990-2.00874784) × cos(0.93758156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591739329149007 × 6371000     		du = 180.732422492321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93760992)-sin(0.93758156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591716467082021-0.591739329149007)×R²
    abs(2.00874784-2.00869990)×2.28620669857627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28620669857627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28620669857627e-05×40589641000000     		ar = 32654.3852212598m²