Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107434 / 100506
↖ ↑ ↗
← S 68.809971°
E115.076294°		 ← 110.40 m → S 68.809971°
E115.079041°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
S 68.810964°
E115.076294°		 ← 110.39 m →
12 182 m²		 S 68.810964°
E115.079041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819660186767578 y=0.766803741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819660186767578 × 217)
    floor (0.819660186767578 × 131072)
    floor (107434.5)     		tx = 107434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766803741455078 × 217)
    floor (0.766803741455078 × 131072)
    floor (100506.5)     		ty = 100506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107434 / 100506 ti = "17/107434/100506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107434/100506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107434 ÷ 217
    107434 ÷ 131072     		x = 0.819656372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100506 ÷ 217
    100506 ÷ 131072     		y = 0.766799926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819656372070312 × 2 - 1) × π
    0.639312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00846022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766799926757812 × 2 - 1) × π
    -0.533599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67635337971336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00846022} λ = 2.00846022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67635337971336))-π/2
    2×atan(0.187054851854602)-π/2
    2×0.184917885439343-π/2
    0.369835770878685-1.57079632675     		φ = -1.20096056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00846022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.076294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20096056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.809971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107434 KachelY 100506 2.00846022 -1.20096056 115.076294 -68.809971
    Oben rechts KachelX + 1 107435 KachelY 100506 2.00850816 -1.20096056 115.079041 -68.809971
    Unten links KachelX 107434 KachelY + 1 100507 2.00846022 -1.20097788 115.076294 -68.810964
    Unten rechts KachelX + 1 107435 KachelY + 1 100507 2.00850816 -1.20097788 115.079041 -68.810964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20096056--1.20097788) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20096056--1.20097788) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00846022-2.00850816) × cos(-1.20096056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361462307980632 × 6371000     		do = 110.39989289702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00846022-2.00850816) × cos(-1.20097788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361446158988386 × 6371000     		du = 110.394960579113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20096056)-sin(-1.20097788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361462307980632-0.361446158988386)×R²
    abs(2.00850816-2.00846022)×1.61489922454461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61489922454461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61489922454461e-05×40589641000000     		ar = 12181.8835400587m²