Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107423 / 43749
↖ ↑ ↗
← N 51.225808°
E115.046081°		 ← 191.27 m → N 51.225808°
E115.048828°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
N 51.224088°
E115.046081°		 ← 191.28 m →
36 583 m²		 N 51.224088°
E115.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819576263427734 y=0.333782196044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819576263427734 × 217)
    floor (0.819576263427734 × 131072)
    floor (107423.5)     		tx = 107423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333782196044922 × 217)
    floor (0.333782196044922 × 131072)
    floor (43749.5)     		ty = 43749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107423 / 43749 ti = "17/107423/43749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107423/43749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107423 ÷ 217
    107423 ÷ 131072     		x = 0.819572448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43749 ÷ 217
    43749 ÷ 131072     		y = 0.333778381347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819572448730469 × 2 - 1) × π
    0.639144897460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.00793291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333778381347656 × 2 - 1) × π
    0.332443237304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.04440123202216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00793291} λ = 2.00793291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04440123202216))-π/2
    2×atan(2.84169649727788)-π/2
    2×1.23242766816404-π/2
    2.46485533632809-1.57079632675     		φ = 0.89405901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00793291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.046081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89405901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.225808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107423 KachelY 43749 2.00793291 0.89405901 115.046081 51.225808
    Oben rechts KachelX + 1 107424 KachelY 43749 2.00798085 0.89405901 115.048828 51.225808
    Unten links KachelX 107423 KachelY + 1 43750 2.00793291 0.89402899 115.046081 51.224088
    Unten rechts KachelX + 1 107424 KachelY + 1 43750 2.00798085 0.89402899 115.048828 51.224088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89405901-0.89402899) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dl = 191.25741999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89405901-0.89402899) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dr = 191.25741999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00793291-2.00798085) × cos(0.89405901) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626252708289433 × 6371000     		do = 191.273696856179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00793291-2.00798085) × cos(0.89402899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626276112203509 × 6371000     		du = 191.280845013954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89405901)-sin(0.89402899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626252708289433-0.626276112203509)×R²
    abs(2.00798085-2.00793291)×2.3403914075959e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3403914075959e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3403914075959e-05×40589641000000     		ar = 36583.1973463024m²