Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107416 / 41968
↖ ↑ ↗
← N 54.188156°
E115.026856°		 ← 178.68 m → N 54.188156°
E115.029602°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 54.186548°
E115.026856°		 ← 178.68 m →
31 931 m²		 N 54.186548°
E115.029602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819522857666016 y=0.320194244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819522857666016 × 217)
    floor (0.819522857666016 × 131072)
    floor (107416.5)     		tx = 107416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320194244384766 × 217)
    floor (0.320194244384766 × 131072)
    floor (41968.5)     		ty = 41968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107416 / 41968 ti = "17/107416/41968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107416/41968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107416 ÷ 217
    107416 ÷ 131072     		x = 0.81951904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41968 ÷ 217
    41968 ÷ 131072     		y = 0.3201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81951904296875 × 2 - 1) × π
    0.6390380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00759736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3201904296875 × 2 - 1) × π
    0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00759736} λ = 2.00759736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12977685024548))-π/2
    2×atan(3.09496578220627)-π/2
    2×1.25827902775166-π/2
    2.51655805550331-1.57079632675     		φ = 0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00759736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.026856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107416 KachelY 41968 2.00759736 0.94576173 115.026856 54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 107417 KachelY 41968 2.00764529 0.94576173 115.029602 54.188156
    Unten links KachelX 107416 KachelY + 1 41969 2.00759736 0.94573368 115.026856 54.186548
    Unten rechts KachelX + 1 107417 KachelY + 1 41969 2.00764529 0.94573368 115.029602 54.186548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94576173-0.94573368) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dl = 178.706549999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94576173-0.94573368) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dr = 178.706549999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00759736-2.00764529) × cos(0.94576173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 178.675058364159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00759736-2.00764529) × cos(0.94573368) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585148076032503 × 6371000     		du = 178.682004347989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94576173)-sin(0.94573368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.585148076032503)×R²
    abs(2.00764529-2.00759736)×2.27467174945817e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27467174945817e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27467174945817e-05×40589641000000     		ar = 31931.0238995548m²