Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107414 / 41974
↖ ↑ ↗
← N 54.178512°
E115.021362°		 ← 178.75 m → N 54.178512°
E115.024109°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 54.176904°
E115.021362°		 ← 178.76 m →
31 945 m²		 N 54.176904°
E115.024109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819507598876953 y=0.320240020751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819507598876953 × 217)
    floor (0.819507598876953 × 131072)
    floor (107414.5)     		tx = 107414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320240020751953 × 217)
    floor (0.320240020751953 × 131072)
    floor (41974.5)     		ty = 41974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107414 / 41974 ti = "17/107414/41974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107414/41974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107414 ÷ 217
    107414 ÷ 131072     		x = 0.819503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41974 ÷ 217
    41974 ÷ 131072     		y = 0.320236206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819503784179688 × 2 - 1) × π
    0.639007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00750148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320236206054688 × 2 - 1) × π
    0.359527587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12948922884776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00750148} λ = 2.00750148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12948922884776))-π/2
    2×atan(3.094075731827)-π/2
    2×1.25819487065516-π/2
    2.51638974131033-1.57079632675     		φ = 0.94559341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00750148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.021362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94559341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.178512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107414 KachelY 41974 2.00750148 0.94559341 115.021362 54.178512
    Oben rechts KachelX + 1 107415 KachelY 41974 2.00754942 0.94559341 115.024109 54.178512
    Unten links KachelX 107414 KachelY + 1 41975 2.00750148 0.94556536 115.021362 54.176904
    Unten rechts KachelX + 1 107415 KachelY + 1 41975 2.00754942 0.94556536 115.024109 54.176904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94559341-0.94556536) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dl = 178.706549999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94559341-0.94556536) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dr = 178.706549999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00750148-2.00754942) × cos(0.94559341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585261818930566 × 6371000     		do = 178.754024140497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00750148-2.00754942) × cos(0.94556536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585284562885088 × 6371000     		du = 178.760970729637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94559341)-sin(0.94556536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585261818930566-0.585284562885088)×R²
    abs(2.00754942-2.00750148)×2.27439545219532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27439545219532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27439545219532e-05×40589641000000     		ar = 31945.1356553147m²