Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107412 / 41939
↖ ↑ ↗
← N 54.234735°
E115.015869°		 ← 178.51 m → N 54.234735°
E115.018616°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
N 54.233130°
E115.015869°		 ← 178.52 m →
31 856 m²		 N 54.233130°
E115.018616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819492340087891 y=0.319972991943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819492340087891 × 217)
    floor (0.819492340087891 × 131072)
    floor (107412.5)     		tx = 107412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319972991943359 × 217)
    floor (0.319972991943359 × 131072)
    floor (41939.5)     		ty = 41939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107412 / 41939 ti = "17/107412/41939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107412/41939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107412 ÷ 217
    107412 ÷ 131072     		x = 0.819488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41939 ÷ 217
    41939 ÷ 131072     		y = 0.319969177246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819488525390625 × 2 - 1) × π
    0.63897705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00740561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319969177246094 × 2 - 1) × π
    0.360061645507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.13116702033447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00740561} λ = 2.00740561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13116702033447))-π/2
    2×atan(3.09927130307289)-π/2
    2×1.25868551040627-π/2
    2.51737102081254-1.57079632675     		φ = 0.94657469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00740561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.015869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94657469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.234735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107412 KachelY 41939 2.00740561 0.94657469 115.015869 54.234735
    Oben rechts KachelX + 1 107413 KachelY 41939 2.00745355 0.94657469 115.018616 54.234735
    Unten links KachelX 107412 KachelY + 1 41940 2.00740561 0.94654668 115.015869 54.233130
    Unten rechts KachelX + 1 107413 KachelY + 1 41940 2.00745355 0.94654668 115.018616 54.233130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94657469-0.94654668) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dl = 178.451710000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94657469-0.94654668) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dr = 178.451710000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00740561-2.00745355) × cos(0.94657469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58446587191091 × 6371000     		do = 178.510921433018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00740561-2.00745355) × cos(0.94654668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584488599507991 × 6371000     		du = 178.517863026175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94657469)-sin(0.94654668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58446587191091-0.584488599507991)×R²
    abs(2.00745355-2.00740561)×2.2727597081329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2727597081329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2727597081329e-05×40589641000000     		ar = 31856.1985550808m²