Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107411 / 41935
↖ ↑ ↗
← N 54.241156°
E115.013122°		 ← 178.48 m → N 54.241156°
E115.015869°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
N 54.239550°
E115.013122°		 ← 178.49 m →
31 863 m²		 N 54.239550°
E115.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819484710693359 y=0.319942474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819484710693359 × 217)
    floor (0.819484710693359 × 131072)
    floor (107411.5)     		tx = 107411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319942474365234 × 217)
    floor (0.319942474365234 × 131072)
    floor (41935.5)     		ty = 41935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107411 / 41935 ti = "17/107411/41935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107411/41935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107411 ÷ 217
    107411 ÷ 131072     		x = 0.819480895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41935 ÷ 217
    41935 ÷ 131072     		y = 0.319938659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819480895996094 × 2 - 1) × π
    0.638961791992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.00735767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319938659667969 × 2 - 1) × π
    0.360122680664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.13135876793295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00735767} λ = 2.00735767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13135876793295))-π/2
    2×atan(3.09986563788161)-π/2
    2×1.25874154101056-π/2
    2.51748308202112-1.57079632675     		φ = 0.94668676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00735767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.013122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94668676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.241156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107411 KachelY 41935 2.00735767 0.94668676 115.013122 54.241156
    Oben rechts KachelX + 1 107412 KachelY 41935 2.00740561 0.94668676 115.015869 54.241156
    Unten links KachelX 107411 KachelY + 1 41936 2.00735767 0.94665874 115.013122 54.239550
    Unten rechts KachelX + 1 107412 KachelY + 1 41936 2.00740561 0.94665874 115.015869 54.239550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94668676-0.94665874) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dl = 178.515419999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94668676-0.94665874) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dr = 178.515419999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00735767-2.00740561) × cos(0.94668676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584374932592763 × 6371000     		do = 178.483146224478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00735767-2.00740561) × cos(0.94665874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.584397670139097 × 6371000     		du = 178.490090856393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94668676)-sin(0.94665874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584374932592763-0.584397670139097)×R²
    abs(2.00740561-2.00735767)×2.27375463338619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27375463338619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27375463338619e-05×40589641000000     		ar = 31862.6136750275m²