Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107409 / 43400
↖ ↑ ↗
← N 51.822198°
E115.007630°		 ← 188.75 m → N 51.822198°
E115.010376°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.820500°
E115.007630°		 ← 188.75 m →
35 631 m²		 N 51.820500°
E115.010376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819469451904297 y=0.331119537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819469451904297 × 217)
    floor (0.819469451904297 × 131072)
    floor (107409.5)     		tx = 107409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331119537353516 × 217)
    floor (0.331119537353516 × 131072)
    floor (43400.5)     		ty = 43400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107409 / 43400 ti = "17/107409/43400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107409/43400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107409 ÷ 217
    107409 ÷ 131072     		x = 0.819465637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43400 ÷ 217
    43400 ÷ 131072     		y = 0.33111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819465637207031 × 2 - 1) × π
    0.638931274414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.00726180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33111572265625 × 2 - 1) × π
    0.3377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06113120998956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00726180} λ = 2.00726180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06113120998956))-π/2
    2×atan(2.88963792841333)-π/2
    2×1.23763215534849-π/2
    2.47526431069697-1.57079632675     		φ = 0.90446798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00726180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.007630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90446798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.822198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107409 KachelY 43400 2.00726180 0.90446798 115.007630 51.822198
    Oben rechts KachelX + 1 107410 KachelY 43400 2.00730973 0.90446798 115.010376 51.822198
    Unten links KachelX 107409 KachelY + 1 43401 2.00726180 0.90443835 115.007630 51.820500
    Unten rechts KachelX + 1 107410 KachelY + 1 43401 2.00730973 0.90443835 115.010376 51.820500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90446798-0.90443835) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90446798-0.90443835) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00726180-2.00730973) × cos(0.90446798) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.61810388640811 × 6371000     		do = 188.745457502837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00726180-2.00730973) × cos(0.90443835) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.61812717817378 × 6371000     		du = 188.752569923684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90446798)-sin(0.90443835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61810388640811-0.61812717817378)×R²
    abs(2.00730973-2.00726180)×2.32917656697307e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.32917656697307e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.32917656697307e-05×40589641000000     		ar = 35630.6666060556m²