Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107409 / 41969
↖ ↑ ↗
← N 54.186548°
E115.007630°		 ← 178.68 m → N 54.186548°
E115.010376°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 54.184941°
E115.007630°		 ← 178.69 m →
31 932 m²		 N 54.184941°
E115.010376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819469451904297 y=0.320201873779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819469451904297 × 217)
    floor (0.819469451904297 × 131072)
    floor (107409.5)     		tx = 107409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320201873779297 × 217)
    floor (0.320201873779297 × 131072)
    floor (41969.5)     		ty = 41969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107409 / 41969 ti = "17/107409/41969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107409/41969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107409 ÷ 217
    107409 ÷ 131072     		x = 0.819465637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41969 ÷ 217
    41969 ÷ 131072     		y = 0.320198059082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819465637207031 × 2 - 1) × π
    0.638931274414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.00726180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320198059082031 × 2 - 1) × π
    0.359603881835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.12972891334586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00726180} λ = 2.00726180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12972891334586))-π/2
    2×atan(3.09481742269822)-π/2
    2×1.25826500293195-π/2
    2.51653000586389-1.57079632675     		φ = 0.94573368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00726180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.007630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94573368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.186548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107409 KachelY 41969 2.00726180 0.94573368 115.007630 54.186548
    Oben rechts KachelX + 1 107410 KachelY 41969 2.00730973 0.94573368 115.010376 54.186548
    Unten links KachelX 107409 KachelY + 1 41970 2.00726180 0.94570563 115.007630 54.184941
    Unten rechts KachelX + 1 107410 KachelY + 1 41970 2.00730973 0.94570563 115.010376 54.184941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94573368-0.94570563) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94573368-0.94570563) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00726180-2.00730973) × cos(0.94573368) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.585148076032503 × 6371000     		do = 178.682004346333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00726180-2.00730973) × cos(0.94570563) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.585170822289601 × 6371000     		du = 178.688950189576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94573368)-sin(0.94570563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585148076032503-0.585170822289601)×R²
    abs(2.00730973-2.00726180)×2.27462570987491e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.27462570987491e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.27462570987491e-05×40589641000000     		ar = 31932.265179909m²