Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107406 / 41967
↖ ↑ ↗
← N 54.189763°
E114.999390°		 ← 178.67 m → N 54.189763°
E115.002136°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 54.188156°
E114.999390°		 ← 178.68 m →
31 930 m²		 N 54.188156°
E115.002136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819446563720703 y=0.320186614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819446563720703 × 217)
    floor (0.819446563720703 × 131072)
    floor (107406.5)     		tx = 107406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320186614990234 × 217)
    floor (0.320186614990234 × 131072)
    floor (41967.5)     		ty = 41967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107406 / 41967 ti = "17/107406/41967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107406/41967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107406 ÷ 217
    107406 ÷ 131072     		x = 0.819442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41967 ÷ 217
    41967 ÷ 131072     		y = 0.320182800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819442749023438 × 2 - 1) × π
    0.638885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00711799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320182800292969 × 2 - 1) × π
    0.359634399414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.1298247871451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00711799} λ = 2.00711799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1298247871451))-π/2
    2×atan(3.09511414882639)-π/2
    2×1.25829305202618-π/2
    2.51658610405235-1.57079632675     		φ = 0.94578978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00711799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.999390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94578978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.189763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107406 KachelY 41967 2.00711799 0.94578978 114.999390 54.189763
    Oben rechts KachelX + 1 107407 KachelY 41967 2.00716592 0.94578978 115.002136 54.189763
    Unten links KachelX 107406 KachelY + 1 41968 2.00711799 0.94576173 114.999390 54.188156
    Unten rechts KachelX + 1 107407 KachelY + 1 41968 2.00716592 0.94576173 115.002136 54.188156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94578978-0.94576173) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94578978-0.94576173) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00711799-2.00716592) × cos(0.94578978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585102582137135 × 6371000     		do = 178.668112239747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00711799-2.00716592) × cos(0.94576173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585125329315008 × 6371000     		du = 178.675058364159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94578978)-sin(0.94576173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585102582137135-0.585125329315008)×R²
    abs(2.00716592-2.00711799)×2.27471778727617e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27471778727617e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27471778727617e-05×40589641000000     		ar = 31929.7825944979m²