Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107404 / 43377
↖ ↑ ↗
← N 51.861228°
E114.993896°		 ← 188.62 m → N 51.861228°
E114.996643°		 →
↑
188.65 m
↓
↑
188.65 m
↓
N 51.859531°
E114.993896°		 ← 188.63 m →
35 583 m²		 N 51.859531°
E114.996643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819431304931641 y=0.330944061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819431304931641 × 217)
    floor (0.819431304931641 × 131072)
    floor (107404.5)     		tx = 107404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330944061279297 × 217)
    floor (0.330944061279297 × 131072)
    floor (43377.5)     		ty = 43377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107404 / 43377 ti = "17/107404/43377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107404/43377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107404 ÷ 217
    107404 ÷ 131072     		x = 0.819427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43377 ÷ 217
    43377 ÷ 131072     		y = 0.330940246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819427490234375 × 2 - 1) × π
    0.63885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00702211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330940246582031 × 2 - 1) × π
    0.338119506835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.06223375868082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00702211} λ = 2.00702211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06223375868082))-π/2
    2×atan(2.89282565191679)-π/2
    2×1.23797275251521-π/2
    2.47594550503042-1.57079632675     		φ = 0.90514918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00702211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.993896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90514918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.861228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107404 KachelY 43377 2.00702211 0.90514918 114.993896 51.861228
    Oben rechts KachelX + 1 107405 KachelY 43377 2.00707005 0.90514918 114.996643 51.861228
    Unten links KachelX 107404 KachelY + 1 43378 2.00702211 0.90511957 114.993896 51.859531
    Unten rechts KachelX + 1 107405 KachelY + 1 43378 2.00707005 0.90511957 114.996643 51.859531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90514918-0.90511957) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dl = 188.645310000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90514918-0.90511957) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dr = 188.645310000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00702211-2.00707005) × cos(0.90514918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617568254156026 × 6371000     		do = 188.621241025989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00702211-2.00707005) × cos(0.90511957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617591542662327 × 6371000     		du = 188.628353935259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90514918)-sin(0.90511957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617568254156026-0.617591542662327)×R²
    abs(2.00707005-2.00702211)×2.32885063015109e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32885063015109e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32885063015109e-05×40589641000000     		ar = 35583.1833971083m²