Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107404 / 100476
↖ ↑ ↗
← S 68.780168°
E114.993896°		 ← 110.55 m → S 68.780168°
E114.996643°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.781162°
E114.993896°		 ← 110.54 m →
12 219 m²		 S 68.781162°
E114.996643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819431304931641 y=0.766574859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819431304931641 × 217)
    floor (0.819431304931641 × 131072)
    floor (107404.5)     		tx = 107404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766574859619141 × 217)
    floor (0.766574859619141 × 131072)
    floor (100476.5)     		ty = 100476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107404 / 100476 ti = "17/107404/100476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107404/100476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107404 ÷ 217
    107404 ÷ 131072     		x = 0.819427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100476 ÷ 217
    100476 ÷ 131072     		y = 0.766571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819427490234375 × 2 - 1) × π
    0.63885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00702211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.53314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67491527272476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00702211} λ = 2.00702211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67491527272476))-π/2
    2×atan(0.187324050265969)-π/2
    2×0.185177970497375-π/2
    0.370355940994749-1.57079632675     		φ = -1.20044039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00702211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.993896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20044039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.780168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107404 KachelY 100476 2.00702211 -1.20044039 114.993896 -68.780168
    Oben rechts KachelX + 1 107405 KachelY 100476 2.00707005 -1.20044039 114.996643 -68.780168
    Unten links KachelX 107404 KachelY + 1 100477 2.00702211 -1.20045774 114.993896 -68.781162
    Unten rechts KachelX + 1 107405 KachelY + 1 100477 2.00707005 -1.20045774 114.996643 -68.781162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20044039--1.20045774) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20044039--1.20045774) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00702211-2.00707005) × cos(-1.20044039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361947258658434 × 6371000     		do = 110.548009316651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00702211-2.00707005) × cos(-1.20045774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361931084958693 × 6371000     		du = 110.543069452439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20044039)-sin(-1.20045774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361947258658434-0.361931084958693)×R²
    abs(2.00707005-2.00702211)×1.61736997406625e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61736997406625e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61736997406625e-05×40589641000000     		ar = 12219.3557054885m²