Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107403 / 43375
↖ ↑ ↗
← N 51.864620°
E114.991150°		 ← 188.57 m → N 51.864620°
E114.993896°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
N 51.862924°
E114.991150°		 ← 188.57 m →
35 561 m²		 N 51.862924°
E114.993896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819423675537109 y=0.330928802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819423675537109 × 217)
    floor (0.819423675537109 × 131072)
    floor (107403.5)     		tx = 107403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330928802490234 × 217)
    floor (0.330928802490234 × 131072)
    floor (43375.5)     		ty = 43375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107403 / 43375 ti = "17/107403/43375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107403/43375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107403 ÷ 217
    107403 ÷ 131072     		x = 0.819419860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43375 ÷ 217
    43375 ÷ 131072     		y = 0.330924987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819419860839844 × 2 - 1) × π
    0.638839721679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.00697418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330924987792969 × 2 - 1) × π
    0.338150024414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.06232963248006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00697418} λ = 2.00697418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06232963248006))-π/2
    2×atan(2.89310301139812)-π/2
    2×1.23800235570652-π/2
    2.47600471141304-1.57079632675     		φ = 0.90520838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00697418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.991150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90520838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.864620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107403 KachelY 43375 2.00697418 0.90520838 114.991150 51.864620
    Oben rechts KachelX + 1 107404 KachelY 43375 2.00702211 0.90520838 114.993896 51.864620
    Unten links KachelX 107403 KachelY + 1 43376 2.00697418 0.90517878 114.991150 51.862924
    Unten rechts KachelX + 1 107404 KachelY + 1 43376 2.00702211 0.90517878 114.993896 51.862924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90520838-0.90517878) × R
    2.9600000000074e-05 × 6371000     		dl = 188.581600000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90520838-0.90517878) × R
    2.9600000000074e-05 × 6371000     		dr = 188.581600000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00697418-2.00702211) × cos(0.90520838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617521691250158 × 6371000     		do = 188.567677209297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00697418-2.00702211) × cos(0.90517878) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617544972973626 × 6371000     		du = 188.574786563637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90520838)-sin(0.90517878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617521691250158-0.617544972973626)×R²
    abs(2.00702211-2.00697418)×2.32817234682159e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32817234682159e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32817234682159e-05×40589641000000     		ar = 35561.0646257629m²