Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107402 / 43406
↖ ↑ ↗
← N 51.812011°
E114.988403°		 ← 188.83 m → N 51.812011°
E114.991150°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.810313°
E114.988403°		 ← 188.83 m →
35 646 m²		 N 51.810313°
E114.991150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819416046142578 y=0.331165313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819416046142578 × 217)
    floor (0.819416046142578 × 131072)
    floor (107402.5)     		tx = 107402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331165313720703 × 217)
    floor (0.331165313720703 × 131072)
    floor (43406.5)     		ty = 43406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107402 / 43406 ti = "17/107402/43406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107402/43406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107402 ÷ 217
    107402 ÷ 131072     		x = 0.819412231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43406 ÷ 217
    43406 ÷ 131072     		y = 0.331161499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819412231445312 × 2 - 1) × π
    0.638824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00692624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331161499023438 × 2 - 1) × π
    0.337677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06084358859184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00692624} λ = 2.00692624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06084358859184))-π/2
    2×atan(2.88880692622618)-π/2
    2×1.23754325534784-π/2
    2.47508651069568-1.57079632675     		φ = 0.90429018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00692624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.988403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90429018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.812011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107402 KachelY 43406 2.00692624 0.90429018 114.988403 51.812011
    Oben rechts KachelX + 1 107403 KachelY 43406 2.00697418 0.90429018 114.991150 51.812011
    Unten links KachelX 107402 KachelY + 1 43407 2.00692624 0.90426055 114.988403 51.810313
    Unten rechts KachelX + 1 107403 KachelY + 1 43407 2.00697418 0.90426055 114.991150 51.810313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90429018-0.90426055) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90429018-0.90426055) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00692624-2.00697418) × cos(0.90429018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6182436445813 × 6371000     		do = 188.827522646417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00692624-2.00697418) × cos(0.90426055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618266933090237 × 6371000     		du = 188.834635556492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90429018)-sin(0.90426055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6182436445813-0.618266933090237)×R²
    abs(2.00697418-2.00692624)×2.32885089368473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32885089368473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32885089368473e-05×40589641000000     		ar = 35646.158313462m²