Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107400 / 100441
↖ ↑ ↗
← S 68.745346°
E114.982910°		 ← 110.70 m → S 68.745346°
E114.985657°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.746342°
E114.982910°		 ← 110.69 m →
12 257 m²		 S 68.746342°
E114.985657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819400787353516 y=0.766307830810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819400787353516 × 217)
    floor (0.819400787353516 × 131072)
    floor (107400.5)     		tx = 107400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766307830810547 × 217)
    floor (0.766307830810547 × 131072)
    floor (100441.5)     		ty = 100441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107400 / 100441 ti = "17/107400/100441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107400/100441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107400 ÷ 217
    107400 ÷ 131072     		x = 0.81939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100441 ÷ 217
    100441 ÷ 131072     		y = 0.766304016113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81939697265625 × 2 - 1) × π
    0.6387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00683037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766304016113281 × 2 - 1) × π
    -0.532608032226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.67323748123806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00683037} λ = 2.00683037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67323748123806))-π/2
    2×atan(0.187638604767403)-π/2
    2×0.185481844069061-π/2
    0.370963688138122-1.57079632675     		φ = -1.19983264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00683037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19983264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.745346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107400 KachelY 100441 2.00683037 -1.19983264 114.982910 -68.745346
    Oben rechts KachelX + 1 107401 KachelY 100441 2.00687830 -1.19983264 114.985657 -68.745346
    Unten links KachelX 107400 KachelY + 1 100442 2.00683037 -1.19985002 114.982910 -68.746342
    Unten rechts KachelX + 1 107401 KachelY + 1 100442 2.00687830 -1.19985002 114.985657 -68.746342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19983264--1.19985002) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19983264--1.19985002) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00683037-2.00687830) × cos(-1.19983264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362513735462667 × 6371000     		do = 110.697930163831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00683037-2.00687830) × cos(-1.19985002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362497537622825 × 6371000     		du = 110.692983958575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19983264)-sin(-1.19985002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362513735462667-0.362497537622825)×R²
    abs(2.00687830-2.00683037)×1.61978398416918e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61978398416918e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61978398416918e-05×40589641000000     		ar = 12257.0843560044m²