Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107400 / 100438
↖ ↑ ↗
← S 68.742359°
E114.982910°		 ← 110.71 m → S 68.742359°
E114.985657°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.743355°
E114.982910°		 ← 110.71 m →
12 259 m²		 S 68.743355°
E114.985657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819400787353516 y=0.766284942626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819400787353516 × 217)
    floor (0.819400787353516 × 131072)
    floor (107400.5)     		tx = 107400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766284942626953 × 217)
    floor (0.766284942626953 × 131072)
    floor (100438.5)     		ty = 100438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107400 / 100438 ti = "17/107400/100438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107400/100438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107400 ÷ 217
    107400 ÷ 131072     		x = 0.81939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100438 ÷ 217
    100438 ÷ 131072     		y = 0.766281127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81939697265625 × 2 - 1) × π
    0.6387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00683037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766281127929688 × 2 - 1) × π
    -0.532562255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6730936705392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00683037} λ = 2.00683037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6730936705392))-π/2
    2×atan(0.187665591146706)-π/2
    2×0.185507912492877-π/2
    0.371015824985755-1.57079632675     		φ = -1.19978050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00683037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19978050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.742359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107400 KachelY 100438 2.00683037 -1.19978050 114.982910 -68.742359
    Oben rechts KachelX + 1 107401 KachelY 100438 2.00687830 -1.19978050 114.985657 -68.742359
    Unten links KachelX 107400 KachelY + 1 100439 2.00683037 -1.19979788 114.982910 -68.743355
    Unten rechts KachelX + 1 107401 KachelY + 1 100439 2.00687830 -1.19979788 114.985657 -68.743355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19978050--1.19979788) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19978050--1.19979788) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00683037-2.00687830) × cos(-1.19978050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362562328325157 × 6371000     		do = 110.712768578964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00683037-2.00687830) × cos(-1.19979788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362546130813838 × 6371000     		du = 110.707822474027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19978050)-sin(-1.19979788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362562328325157-0.362546130813838)×R²
    abs(2.00687830-2.00683037)×1.61975113195378e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61975113195378e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61975113195378e-05×40589641000000     		ar = 12258.7273892165m²