Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1074 / 662
↖ ↑ ↗
← N 76.393312°
W 85.605469°		 ← 2 299.15 m → N 76.393312°
W 85.517578°		 →
↑
2 300.89 m
↓
↑
2 300.89 m
↓
N 76.372620°
W 85.605469°		 ← 2 302.58 m →
5 294 029 m²		 N 76.372620°
W 85.517578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2623291015625 y=0.1617431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2623291015625 × 212)
    floor (0.2623291015625 × 4096)
    floor (1074.5)     		tx = 1074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1617431640625 × 212)
    floor (0.1617431640625 × 4096)
    floor (662.5)     		ty = 662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1074 / 662 ti = "12/1074/662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1074/662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1074 ÷ 212
    1074 ÷ 4096     		x = 0.26220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 662 ÷ 212
    662 ÷ 4096     		y = 0.16162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26220703125 × 2 - 1) × π
    -0.4755859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.49409729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16162109375 × 2 - 1) × π
    0.6767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12609737194873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49409729} λ = -1.49409729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12609737194873))-π/2
    2×atan(8.382090714232)-π/2
    2×1.45205557089622-π/2
    2.90411114179245-1.57079632675     		φ = 1.33331482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49409729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33331482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.393312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1074 KachelY 662 -1.49409729 1.33331482 -85.605469 76.393312
    Oben rechts KachelX + 1 1075 KachelY 662 -1.49256331 1.33331482 -85.517578 76.393312
    Unten links KachelX 1074 KachelY + 1 663 -1.49409729 1.33295367 -85.605469 76.372620
    Unten rechts KachelX + 1 1075 KachelY + 1 663 -1.49256331 1.33295367 -85.517578 76.372620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33331482-1.33295367) × R
    0.000361150000000032 × 6371000     		dl = 2300.88665000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33331482-1.33295367) × R
    0.000361150000000032 × 6371000     		dr = 2300.88665000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49409729--1.49256331) × cos(1.33331482) × R
    0.00153398000000005 × 0.235255567073022 × 6371000     		do = 2299.14949987501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49409729--1.49256331) × cos(1.33295367) × R
    0.00153398000000005 × 0.235606565523478 × 6371000     		du = 2302.57980302091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33331482)-sin(1.33295367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235255567073022-0.235606565523478)×R²
    abs(-1.49256331--1.49409729)×0.000350998450455192×R²
    0.00153398000000005×0.000350998450455192×6371000²
    0.00153398000000005×0.000350998450455192×40589641000000     		ar = 5294028.81751966m²