Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107399 / 100441
↖ ↑ ↗
← S 68.745346°
E114.980164°		 ← 110.72 m → S 68.745346°
E114.982910°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.746342°
E114.980164°		 ← 110.72 m →
12 260 m²		 S 68.746342°
E114.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819393157958984 y=0.766307830810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819393157958984 × 217)
    floor (0.819393157958984 × 131072)
    floor (107399.5)     		tx = 107399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766307830810547 × 217)
    floor (0.766307830810547 × 131072)
    floor (100441.5)     		ty = 100441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107399 / 100441 ti = "17/107399/100441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107399/100441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107399 ÷ 217
    107399 ÷ 131072     		x = 0.819389343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100441 ÷ 217
    100441 ÷ 131072     		y = 0.766304016113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819389343261719 × 2 - 1) × π
    0.638778686523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.00678243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766304016113281 × 2 - 1) × π
    -0.532608032226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.67323748123806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00678243} λ = 2.00678243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67323748123806))-π/2
    2×atan(0.187638604767403)-π/2
    2×0.185481844069061-π/2
    0.370963688138122-1.57079632675     		φ = -1.19983264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00678243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.980164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19983264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.745346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107399 KachelY 100441 2.00678243 -1.19983264 114.980164 -68.745346
    Oben rechts KachelX + 1 107400 KachelY 100441 2.00683037 -1.19983264 114.982910 -68.745346
    Unten links KachelX 107399 KachelY + 1 100442 2.00678243 -1.19985002 114.980164 -68.746342
    Unten rechts KachelX + 1 107400 KachelY + 1 100442 2.00683037 -1.19985002 114.982910 -68.746342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19983264--1.19985002) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19983264--1.19985002) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00678243-2.00683037) × cos(-1.19983264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362513735462667 × 6371000     		do = 110.721025913777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00678243-2.00683037) × cos(-1.19985002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362497537622825 × 6371000     		du = 110.716078676557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19983264)-sin(-1.19985002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362513735462667-0.362497537622825)×R²
    abs(2.00683037-2.00678243)×1.61978398416918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61978398416918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61978398416918e-05×40589641000000     		ar = 12259.6416446089m²