Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107398 / 100472
↖ ↑ ↗
← S 68.776191°
E114.977417°		 ← 110.57 m → S 68.776191°
E114.980164°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.777185°
E114.977417°		 ← 110.56 m →
12 222 m²		 S 68.777185°
E114.980164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819385528564453 y=0.766544342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819385528564453 × 217)
    floor (0.819385528564453 × 131072)
    floor (107398.5)     		tx = 107398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766544342041016 × 217)
    floor (0.766544342041016 × 131072)
    floor (100472.5)     		ty = 100472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107398 / 100472 ti = "17/107398/100472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107398/100472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107398 ÷ 217
    107398 ÷ 131072     		x = 0.819381713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100472 ÷ 217
    100472 ÷ 131072     		y = 0.76654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819381713867188 × 2 - 1) × π
    0.638763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00673449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.5330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67472352512628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00673449} λ = 2.00673449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67472352512628))-π/2
    2×atan(0.18735997264665)-π/2
    2×0.185212674858089-π/2
    0.370425349716179-1.57079632675     		φ = -1.20037098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00673449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.977417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20037098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.776191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107398 KachelY 100472 2.00673449 -1.20037098 114.977417 -68.776191
    Oben rechts KachelX + 1 107399 KachelY 100472 2.00678243 -1.20037098 114.980164 -68.776191
    Unten links KachelX 107398 KachelY + 1 100473 2.00673449 -1.20038833 114.977417 -68.777185
    Unten rechts KachelX + 1 107399 KachelY + 1 100473 2.00678243 -1.20038833 114.980164 -68.777185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20037098--1.20038833) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20037098--1.20038833) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00673449-2.00678243) × cos(-1.20037098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36201196168954 × 6371000     		do = 110.567771287807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00673449-2.00678243) × cos(-1.20038833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361995788425708 × 6371000     		du = 110.562831556733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20037098)-sin(-1.20038833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36201196168954-0.361995788425708)×R²
    abs(2.00678243-2.00673449)×1.61732638315759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61732638315759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61732638315759e-05×40589641000000     		ar = 12221.5401388376m²