Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107397 / 42120
↖ ↑ ↗
← N 53.943155°
E114.974670°		 ← 179.77 m → N 53.943155°
E114.977417°		 →
↑
179.79 m
↓
↑
179.79 m
↓
N 53.941538°
E114.974670°		 ← 179.78 m →
32 321 m²		 N 53.941538°
E114.977417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819377899169922 y=0.321353912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819377899169922 × 217)
    floor (0.819377899169922 × 131072)
    floor (107397.5)     		tx = 107397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321353912353516 × 217)
    floor (0.321353912353516 × 131072)
    floor (42120.5)     		ty = 42120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107397 / 42120 ti = "17/107397/42120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107397/42120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107397 ÷ 217
    107397 ÷ 131072     		x = 0.819374084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42120 ÷ 217
    42120 ÷ 131072     		y = 0.32135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819374084472656 × 2 - 1) × π
    0.638748168945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.00668655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32135009765625 × 2 - 1) × π
    0.3572998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12249044150323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00668655} λ = 2.00668655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12249044150323))-π/2
    2×atan(3.07249655586825)-π/2
    2×1.25614099262146-π/2
    2.51228198524292-1.57079632675     		φ = 0.94148566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00668655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.974670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94148566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.943155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107397 KachelY 42120 2.00668655 0.94148566 114.974670 53.943155
    Oben rechts KachelX + 1 107398 KachelY 42120 2.00673449 0.94148566 114.977417 53.943155
    Unten links KachelX 107397 KachelY + 1 42121 2.00668655 0.94145744 114.974670 53.941538
    Unten rechts KachelX + 1 107398 KachelY + 1 42121 2.00673449 0.94145744 114.977417 53.941538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94148566-0.94145744) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dl = 179.789620000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94148566-0.94145744) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dr = 179.789620000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00668655-2.00673449) × cos(0.94148566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588587617819289 × 6371000     		do = 179.769808727176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00668655-2.00673449) × cos(0.94145744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588610431576409 × 6371000     		du = 179.776776635826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94148566)-sin(0.94145744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588587617819289-0.588610431576409)×R²
    abs(2.00673449-2.00668655)×2.28137571196552e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28137571196552e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28137571196552e-05×40589641000000     		ar = 32321.3719795065m²