Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107397 / 100473
↖ ↑ ↗
← S 68.777185°
E114.974670°		 ← 110.56 m → S 68.777185°
E114.977417°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.778179°
E114.974670°		 ← 110.56 m →
12 221 m²		 S 68.778179°
E114.977417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819377899169922 y=0.766551971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819377899169922 × 217)
    floor (0.819377899169922 × 131072)
    floor (107397.5)     		tx = 107397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766551971435547 × 217)
    floor (0.766551971435547 × 131072)
    floor (100473.5)     		ty = 100473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107397 / 100473 ti = "17/107397/100473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107397/100473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107397 ÷ 217
    107397 ÷ 131072     		x = 0.819374084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100473 ÷ 217
    100473 ÷ 131072     		y = 0.766548156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819374084472656 × 2 - 1) × π
    0.638748168945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.00668655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766548156738281 × 2 - 1) × π
    -0.533096313476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.6747714620259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00668655} λ = 2.00668655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6747714620259))-π/2
    2×atan(0.187350991405717)-π/2
    2×0.185203998186352-π/2
    0.370407996372704-1.57079632675     		φ = -1.20038833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00668655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.974670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20038833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.777185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107397 KachelY 100473 2.00668655 -1.20038833 114.974670 -68.777185
    Oben rechts KachelX + 1 107398 KachelY 100473 2.00673449 -1.20038833 114.977417 -68.777185
    Unten links KachelX 107397 KachelY + 1 100474 2.00668655 -1.20040568 114.974670 -68.778179
    Unten rechts KachelX + 1 107398 KachelY + 1 100474 2.00673449 -1.20040568 114.977417 -68.778179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20038833--1.20040568) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20038833--1.20040568) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00668655-2.00673449) × cos(-1.20038833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361995788425708 × 6371000     		do = 110.562831556733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00668655-2.00673449) × cos(-1.20040568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361979615052908 × 6371000     		du = 110.557891792377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20038833)-sin(-1.20040568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361995788425708-0.361979615052908)×R²
    abs(2.00673449-2.00668655)×1.61733728004099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61733728004099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61733728004099e-05×40589641000000     		ar = 12220.9941148618m²