Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107396 / 100442
↖ ↑ ↗
← S 68.746342°
E114.971924°		 ← 110.69 m → S 68.746342°
E114.974670°		 →
↑
110.66 m
↓
↑
110.66 m
↓
S 68.747337°
E114.971924°		 ← 110.69 m →
12 249 m²		 S 68.747337°
E114.974670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819370269775391 y=0.766315460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819370269775391 × 217)
    floor (0.819370269775391 × 131072)
    floor (107396.5)     		tx = 107396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766315460205078 × 217)
    floor (0.766315460205078 × 131072)
    floor (100442.5)     		ty = 100442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107396 / 100442 ti = "17/107396/100442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107396/100442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107396 ÷ 217
    107396 ÷ 131072     		x = 0.819366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100442 ÷ 217
    100442 ÷ 131072     		y = 0.766311645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819366455078125 × 2 - 1) × π
    0.63873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00663862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766311645507812 × 2 - 1) × π
    -0.532623291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67328541813768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00663862} λ = 2.00663862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67328541813768))-π/2
    2×atan(0.18762961017003)-π/2
    2×0.185473155370848-π/2
    0.370946310741696-1.57079632675     		φ = -1.19985002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00663862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19985002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.746342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107396 KachelY 100442 2.00663862 -1.19985002 114.971924 -68.746342
    Oben rechts KachelX + 1 107397 KachelY 100442 2.00668655 -1.19985002 114.974670 -68.746342
    Unten links KachelX 107396 KachelY + 1 100443 2.00663862 -1.19986739 114.971924 -68.747337
    Unten rechts KachelX + 1 107397 KachelY + 1 100443 2.00668655 -1.19986739 114.974670 -68.747337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19985002--1.19986739) × R
    1.73700000001276e-05 × 6371000     		dl = 110.664270000813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19985002--1.19986739) × R
    1.73700000001276e-05 × 6371000     		dr = 110.664270000813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00663862-2.00668655) × cos(-1.19985002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362497537622825 × 6371000     		do = 110.692983958575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00663862-2.00668655) × cos(-1.19986739) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362481348993396 × 6371000     		du = 110.68804056583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19985002)-sin(-1.19986739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362497537622825-0.362481348993396)×R²
    abs(2.00668655-2.00663862)×1.6188629429037e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6188629429037e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6188629429037e-05×40589641000000     		ar = 12249.4847357218m²