Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107394 / 42118
↖ ↑ ↗
← N 53.946388°
E114.966430°		 ← 179.76 m → N 53.946388°
E114.969177°		 →
↑
179.79 m
↓
↑
179.79 m
↓
N 53.944771°
E114.966430°		 ← 179.76 m →
32 319 m²		 N 53.944771°
E114.969177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819355010986328 y=0.321338653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819355010986328 × 217)
    floor (0.819355010986328 × 131072)
    floor (107394.5)     		tx = 107394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321338653564453 × 217)
    floor (0.321338653564453 × 131072)
    floor (42118.5)     		ty = 42118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107394 / 42118 ti = "17/107394/42118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107394/42118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107394 ÷ 217
    107394 ÷ 131072     		x = 0.819351196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42118 ÷ 217
    42118 ÷ 131072     		y = 0.321334838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819351196289062 × 2 - 1) × π
    0.638702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00654274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321334838867188 × 2 - 1) × π
    0.357330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12258631530248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00654274} λ = 2.00654274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12258631530248))-π/2
    2×atan(3.07279114190753)-π/2
    2×1.25616920659365-π/2
    2.5123384131873-1.57079632675     		φ = 0.94154209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00654274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.966430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94154209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.946388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107394 KachelY 42118 2.00654274 0.94154209 114.966430 53.946388
    Oben rechts KachelX + 1 107395 KachelY 42118 2.00659068 0.94154209 114.969177 53.946388
    Unten links KachelX 107394 KachelY + 1 42119 2.00654274 0.94151387 114.966430 53.944771
    Unten rechts KachelX + 1 107395 KachelY + 1 42119 2.00659068 0.94151387 114.969177 53.944771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94154209-0.94151387) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dl = 179.789620000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94154209-0.94151387) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dr = 179.789620000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00654274-2.00659068) × cos(0.94154209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588541996983537 × 6371000     		do = 179.755874949657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00654274-2.00659068) × cos(0.94151387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588564811677937 × 6371000     		du = 179.762843144577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94154209)-sin(0.94151387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588541996983537-0.588564811677937)×R²
    abs(2.00659068-2.00654274)×2.28146944005747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28146944005747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28146944005747e-05×40589641000000     		ar = 32318.8668567204m²