Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107393 / 42121
↖ ↑ ↗
← N 53.941538°
E114.963684°		 ← 179.74 m → N 53.941538°
E114.966430°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
N 53.939922°
E114.963684°		 ← 179.75 m →
32 304 m²		 N 53.939922°
E114.966430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819347381591797 y=0.321361541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819347381591797 × 217)
    floor (0.819347381591797 × 131072)
    floor (107393.5)     		tx = 107393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321361541748047 × 217)
    floor (0.321361541748047 × 131072)
    floor (42121.5)     		ty = 42121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107393 / 42121 ti = "17/107393/42121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107393/42121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107393 ÷ 217
    107393 ÷ 131072     		x = 0.819343566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42121 ÷ 217
    42121 ÷ 131072     		y = 0.321357727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819343566894531 × 2 - 1) × π
    0.638687133789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.00649481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321357727050781 × 2 - 1) × π
    0.357284545898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.12244250460361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00649481} λ = 2.00649481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12244250460361))-π/2
    2×atan(3.07234927343943)-π/2
    2×1.25612688481529-π/2
    2.51225376963059-1.57079632675     		φ = 0.94145744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00649481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.963684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94145744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.941538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107393 KachelY 42121 2.00649481 0.94145744 114.963684 53.941538
    Oben rechts KachelX + 1 107394 KachelY 42121 2.00654274 0.94145744 114.966430 53.941538
    Unten links KachelX 107393 KachelY + 1 42122 2.00649481 0.94142923 114.963684 53.939922
    Unten rechts KachelX + 1 107394 KachelY + 1 42122 2.00654274 0.94142923 114.966430 53.939922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94145744-0.94142923) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dl = 179.725909999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94145744-0.94142923) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dr = 179.725909999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00649481-2.00654274) × cos(0.94145744) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.588610431576409 × 6371000     		do = 179.739276265458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00649481-2.00654274) × cos(0.94142923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.588633236780776 × 6371000     		du = 179.746240108958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94145744)-sin(0.94142923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588610431576409-0.588633236780776)×R²
    abs(2.00654274-2.00649481)×2.28052043668159e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28052043668159e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28052043668159e-05×40589641000000     		ar = 32304.4307831483m²