Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107392 / 100225
↖ ↑ ↗
← S 68.529240°
E114.960937°		 ← 111.79 m → S 68.529240°
E114.963684°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
S 68.530245°
E114.960937°		 ← 111.79 m →
12 492 m²		 S 68.530245°
E114.963684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819339752197266 y=0.764659881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819339752197266 × 217)
    floor (0.819339752197266 × 131072)
    floor (107392.5)     		tx = 107392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764659881591797 × 217)
    floor (0.764659881591797 × 131072)
    floor (100225.5)     		ty = 100225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107392 / 100225 ti = "17/107392/100225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107392/100225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107392 ÷ 217
    107392 ÷ 131072     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100225 ÷ 217
    100225 ÷ 131072     		y = 0.764656066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764656066894531 × 2 - 1) × π
    -0.529312133789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.66288311092013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66288311092013))-π/2
    2×atan(0.189591577821576)-π/2
    2×0.187367725155686-π/2
    0.374735450311371-1.57079632675     		φ = -1.19606088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19606088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.529240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107392 KachelY 100225 2.00644687 -1.19606088 114.960937 -68.529240
    Oben rechts KachelX + 1 107393 KachelY 100225 2.00649481 -1.19606088 114.963684 -68.529240
    Unten links KachelX 107392 KachelY + 1 100226 2.00644687 -1.19607842 114.960937 -68.530245
    Unten rechts KachelX + 1 107393 KachelY + 1 100226 2.00649481 -1.19607842 114.963684 -68.530245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19606088--1.19607842) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19606088--1.19607842) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00649481) × cos(-1.19606088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366026347497755 × 6371000     		do = 111.793868043926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00649481) × cos(-1.19607842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366010024638734 × 6371000     		du = 111.78888262263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19606088)-sin(-1.19607842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366026347497755-0.366010024638734)×R²
    abs(2.00649481-2.00644687)×1.63228590215891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63228590215891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63228590215891e-05×40589641000000     		ar = 12492.3888286767m²