Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10739 / 11765
↖ ↑ ↗
← N 45.174292°
W 62.017822°		 ← 861.15 m → N 45.174292°
W 62.006836°		 →
↑
861.23 m
↓
↑
861.23 m
↓
N 45.166547°
W 62.017822°		 ← 861.27 m →
741 703 m²		 N 45.166547°
W 62.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.327743530273438 y=0.359054565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.327743530273438 × 215)
    floor (0.327743530273438 × 32768)
    floor (10739.5)     		tx = 10739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359054565429688 × 215)
    floor (0.359054565429688 × 32768)
    floor (11765.5)     		ty = 11765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10739 / 11765 ti = "15/10739/11765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10739/11765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10739 ÷ 215
    10739 ÷ 32768     		x = 0.327728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11765 ÷ 215
    11765 ÷ 32768     		y = 0.359039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.327728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.34454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.08241519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359039306640625 × 2 - 1) × π
    0.28192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.885682157380157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.08241519} λ = -1.08241519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.885682157380157))-π/2
    2×atan(2.42463781205261)-π/2
    2×1.17961823429062-π/2
    2.35923646858125-1.57079632675     		φ = 0.78844014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.08241519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -62.017822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78844014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.174292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10739 KachelY 11765 -1.08241519 0.78844014 -62.017822 45.174292
    Oben rechts KachelX + 1 10740 KachelY 11765 -1.08222345 0.78844014 -62.006836 45.174292
    Unten links KachelX 10739 KachelY + 1 11766 -1.08241519 0.78830496 -62.017822 45.166547
    Unten rechts KachelX + 1 10740 KachelY + 1 11766 -1.08222345 0.78830496 -62.006836 45.166547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78844014-0.78830496) × R
    0.000135179999999901 × 6371000     		dl = 861.231779999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78844014-0.78830496) × R
    0.000135179999999901 × 6371000     		dr = 861.231779999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.08241519--1.08222345) × cos(0.78844014) × R
    0.000191739999999996 × 0.704952510573311 × 6371000     		do = 861.152743777929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.08241519--1.08222345) × cos(0.78830496) × R
    0.000191739999999996 × 0.705048381156457 × 6371000     		du = 861.269856937306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78844014)-sin(0.78830496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704952510573311-0.705048381156457)×R²
    abs(-1.08222345--1.08241519)×9.58705831463069e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58705831463069e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58705831463069e-05×40589641000000     		ar = 741702.542292029m²