Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107388 / 100436
↖ ↑ ↗
← S 68.740367°
E114.949951°		 ← 110.75 m → S 68.740367°
E114.952698°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.741363°
E114.949951°		 ← 110.74 m →
12 262 m²		 S 68.741363°
E114.952698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819309234619141 y=0.766269683837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819309234619141 × 217)
    floor (0.819309234619141 × 131072)
    floor (107388.5)     		tx = 107388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766269683837891 × 217)
    floor (0.766269683837891 × 131072)
    floor (100436.5)     		ty = 100436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107388 / 100436 ti = "17/107388/100436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107388/100436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107388 ÷ 217
    107388 ÷ 131072     		x = 0.819305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100436 ÷ 217
    100436 ÷ 131072     		y = 0.766265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819305419921875 × 2 - 1) × π
    0.63861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00625512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.53253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67299779673996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00625512} λ = 2.00625512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67299779673996))-π/2
    2×atan(0.187683584222435)-π/2
    2×0.185525293383216-π/2
    0.371050586766432-1.57079632675     		φ = -1.19974574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00625512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.949951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19974574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.740367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107388 KachelY 100436 2.00625512 -1.19974574 114.949951 -68.740367
    Oben rechts KachelX + 1 107389 KachelY 100436 2.00630306 -1.19974574 114.952698 -68.740367
    Unten links KachelX 107388 KachelY + 1 100437 2.00625512 -1.19976312 114.949951 -68.741363
    Unten rechts KachelX + 1 107389 KachelY + 1 100437 2.00630306 -1.19976312 114.952698 -68.741363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19974574--1.19976312) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19974574--1.19976312) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00625512-2.00630306) × cos(-1.19974574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362594723019239 × 6371000     		do = 110.745761598174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00625512-2.00630306) × cos(-1.19976312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362578525726959 × 6371000     		du = 110.740814528193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19974574)-sin(-1.19976312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362594723019239-0.362578525726959)×R²
    abs(2.00630306-2.00625512)×1.61972922802511e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61972922802511e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61972922802511e-05×40589641000000     		ar = 12262.3805862637m²