Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107388 / 100229
↖ ↑ ↗
← S 68.533261°
E114.949951°		 ← 111.77 m → S 68.533261°
E114.952698°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 68.534266°
E114.949951°		 ← 111.77 m →
12 497 m²		 S 68.534266°
E114.952698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819309234619141 y=0.764690399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819309234619141 × 217)
    floor (0.819309234619141 × 131072)
    floor (107388.5)     		tx = 107388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764690399169922 × 217)
    floor (0.764690399169922 × 131072)
    floor (100229.5)     		ty = 100229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107388 / 100229 ti = "17/107388/100229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107388/100229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107388 ÷ 217
    107388 ÷ 131072     		x = 0.819305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100229 ÷ 217
    100229 ÷ 131072     		y = 0.764686584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819305419921875 × 2 - 1) × π
    0.63861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00625512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764686584472656 × 2 - 1) × π
    -0.529373168945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.66307485851861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00625512} λ = 2.00625512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66307485851861))-π/2
    2×atan(0.189555227576984)-π/2
    2×0.187332635949617-π/2
    0.374665271899233-1.57079632675     		φ = -1.19613105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00625512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.949951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19613105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.533261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107388 KachelY 100229 2.00625512 -1.19613105 114.949951 -68.533261
    Oben rechts KachelX + 1 107389 KachelY 100229 2.00630306 -1.19613105 114.952698 -68.533261
    Unten links KachelX 107388 KachelY + 1 100230 2.00625512 -1.19614860 114.949951 -68.534266
    Unten rechts KachelX + 1 107389 KachelY + 1 100230 2.00630306 -1.19614860 114.952698 -68.534266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19613105--1.19614860) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dl = 111.811049999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19613105--1.19614860) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dr = 111.811049999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00625512-2.00630306) × cos(-1.19613105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365961046079766 × 6371000     		do = 111.773923310013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00625512-2.00630306) × cos(-1.19614860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36594471346393 × 6371000     		du = 111.768934908736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19613105)-sin(-1.19614860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365961046079766-0.36594471346393)×R²
    abs(2.00630306-2.00625512)×1.63326158357791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63326158357791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63326158357791e-05×40589641000000     		ar = 12497.2808490555m²