Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107387 / 100419
↖ ↑ ↗
← S 68.723431°
E114.947205°		 ← 110.81 m → S 68.723431°
E114.949951°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.724427°
E114.947205°		 ← 110.80 m →
12 276 m²		 S 68.724427°
E114.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819301605224609 y=0.766139984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819301605224609 × 217)
    floor (0.819301605224609 × 131072)
    floor (107387.5)     		tx = 107387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766139984130859 × 217)
    floor (0.766139984130859 × 131072)
    floor (100419.5)     		ty = 100419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107387 / 100419 ti = "17/107387/100419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107387/100419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107387 ÷ 217
    107387 ÷ 131072     		x = 0.819297790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100419 ÷ 217
    100419 ÷ 131072     		y = 0.766136169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819297790527344 × 2 - 1) × π
    0.638595581054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.00620719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766136169433594 × 2 - 1) × π
    -0.532272338867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.67218286944642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00620719} λ = 2.00620719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67218286944642))-π/2
    2×atan(0.187836595035643)-π/2
    2×0.185673093666957-π/2
    0.371346187333913-1.57079632675     		φ = -1.19945014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00620719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.947205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19945014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.723431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107387 KachelY 100419 2.00620719 -1.19945014 114.947205 -68.723431
    Oben rechts KachelX + 1 107388 KachelY 100419 2.00625512 -1.19945014 114.949951 -68.723431
    Unten links KachelX 107387 KachelY + 1 100420 2.00620719 -1.19946753 114.947205 -68.724427
    Unten rechts KachelX + 1 107388 KachelY + 1 100420 2.00625512 -1.19946753 114.949951 -68.724427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19945014--1.19946753) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19945014--1.19946753) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00620719-2.00625512) × cos(-1.19945014) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362870190683948 × 6371000     		do = 110.806778053805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00620719-2.00625512) × cos(-1.19946753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362853985936714 × 6371000     		du = 110.801829739294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19945014)-sin(-1.19946753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362870190683948-0.362853985936714)×R²
    abs(2.00625512-2.00620719)×1.6204747233739e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6204747233739e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6204747233739e-05×40589641000000     		ar = 12276.1960881687m²