Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107382 / 42102
↖ ↑ ↗
← N 53.972243°
E114.933472°		 ← 179.64 m → N 53.972243°
E114.936218°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
N 53.970628°
E114.933472°		 ← 179.65 m →
32 264 m²		 N 53.970628°
E114.936218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819263458251953 y=0.321216583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819263458251953 × 217)
    floor (0.819263458251953 × 131072)
    floor (107382.5)     		tx = 107382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321216583251953 × 217)
    floor (0.321216583251953 × 131072)
    floor (42102.5)     		ty = 42102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107382 / 42102 ti = "17/107382/42102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107382/42102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107382 ÷ 217
    107382 ÷ 131072     		x = 0.819259643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42102 ÷ 217
    42102 ÷ 131072     		y = 0.321212768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819259643554688 × 2 - 1) × π
    0.638519287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00596750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321212768554688 × 2 - 1) × π
    0.357574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1233533056964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00596750} λ = 2.00596750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1233533056964))-π/2
    2×atan(3.07514884724899)-π/2
    2×1.25639483965296-π/2
    2.51278967930592-1.57079632675     		φ = 0.94199335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00596750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.933472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94199335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.972243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107382 KachelY 42102 2.00596750 0.94199335 114.933472 53.972243
    Oben rechts KachelX + 1 107383 KachelY 42102 2.00601544 0.94199335 114.936218 53.972243
    Unten links KachelX 107382 KachelY + 1 42103 2.00596750 0.94196516 114.933472 53.970628
    Unten rechts KachelX + 1 107383 KachelY + 1 42103 2.00601544 0.94196516 114.936218 53.970628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94199335-0.94196516) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dl = 179.598489999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94199335-0.94196516) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dr = 179.598489999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00596750-2.00601544) × cos(0.94199335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588177108413173 × 6371000     		do = 179.644428588036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00596750-2.00601544) × cos(0.94196516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58819990633875 × 6371000     		du = 179.651391661326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94199335)-sin(0.94196516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588177108413173-0.58819990633875)×R²
    abs(2.00601544-2.00596750)×2.27979255775779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27979255775779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27979255775779e-05×40589641000000     		ar = 32264.4933921752m²