Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107381 / 100417
↖ ↑ ↗
← S 68.721437°
E114.930725°		 ← 110.84 m → S 68.721437°
E114.933472°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.722434°
E114.930725°		 ← 110.83 m →
12 280 m²		 S 68.722434°
E114.933472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819255828857422 y=0.766124725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819255828857422 × 217)
    floor (0.819255828857422 × 131072)
    floor (107381.5)     		tx = 107381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766124725341797 × 217)
    floor (0.766124725341797 × 131072)
    floor (100417.5)     		ty = 100417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107381 / 100417 ti = "17/107381/100417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107381/100417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107381 ÷ 217
    107381 ÷ 131072     		x = 0.819252014160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100417 ÷ 217
    100417 ÷ 131072     		y = 0.766120910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819252014160156 × 2 - 1) × π
    0.638504028320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.00591956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766120910644531 × 2 - 1) × π
    -0.532241821289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.67208699564718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00591956} λ = 2.00591956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67208699564718))-π/2
    2×atan(0.18785460450695)-π/2
    2×0.185690489315926-π/2
    0.371380978631853-1.57079632675     		φ = -1.19941535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00591956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.930725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19941535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.721437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107381 KachelY 100417 2.00591956 -1.19941535 114.930725 -68.721437
    Oben rechts KachelX + 1 107382 KachelY 100417 2.00596750 -1.19941535 114.933472 -68.721437
    Unten links KachelX 107381 KachelY + 1 100418 2.00591956 -1.19943274 114.930725 -68.722434
    Unten rechts KachelX + 1 107382 KachelY + 1 100418 2.00596750 -1.19943274 114.933472 -68.722434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19941535--1.19943274) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19941535--1.19943274) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00591956-2.00596750) × cos(-1.19941535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362902609167472 × 6371000     		do = 110.839797952833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00591956-2.00596750) × cos(-1.19943274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362886404639779 × 6371000     		du = 110.834848672971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19941535)-sin(-1.19943274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362902609167472-0.362886404639779)×R²
    abs(2.00596750-2.00591956)×1.62045276930201e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62045276930201e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62045276930201e-05×40589641000000     		ar = 12279.8543651776m²